第三十四课时 函数模型及其应用（2）
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学习要求
1．能用指数函数、对数函数解决如复利、人口增长等与增长率有关的问题，
2．提高学生根据实际问题建立函数关系的能力.
自学评价
1.复利把前一期的利息和本金加在一起做本金，再计算下一期的利息．（就是人们常说的“利滚利”）．设本金为，每期利率为，存期为，则本金与利息和 ．
2.单利在计算每一期的利息时，本金还是第一期的本金．设本金为，每期利率为，存期为，则本金与利息和 ．
3．在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为，平均增长率为，则对于时间的总产值，可以用公式 表示．
【精典范例】
例1：物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述:设物体的初始温度是,经过一定时间后的温度是,则
,
其中表示环境温度,称为半衰期.
现有一杯用热水冲的速容咖啡,放在的房间中,如果咖啡降到需要,那么降温到时,需要多长时间?
【解】由题意知,即,解之,得,故
,
当时,代入上式, 得
,
即 ， 两边取对数,
用计算器求得
因此,约需要,可降温到
点评: 本题是利用已知的函数模型来解决物理问题，需由已知条件先确定函数式，然后再求解.本题的实质为已知自变量的值，求对应的函数值的数学问题，由于运算比较复杂，要求学生借助计算器进行计算.
例2：现有某种细胞个，其中有占总数的细胞每小时分裂一次，即由个细胞分裂成个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过个？（参考数据：）.
分析：现有细胞个，先考虑经过、、、
个小时后的细胞总数，
【解】小时后，细胞总数为
；
小时后，细胞总数为
；
小时后，细胞总数为
；
小时后，细胞总数为
;
可见，细胞总数与时间（小时）之间的函数关系为： ，
由，得，两边取以10为底的对数，得，
∴， ∵，
∴.
答：经过小时，细胞总数超过个.
点评:本例用归纳猜想的方法得出了细胞总数与时间之间的函数关系式；解类似这类的不等式，通常在不等式两边同时取对数，利用对数函数的单调性求解．
这种通过观察几个特殊值的特征，从而归纳出函数一般表达式的方法叫做“不完全归纳法”，是高中数学中非常重要的一种方法．
例3：某公司拟投资万元，有两种获利的可能可供选择：一种是年利率，按单利计算，年后收回本金和利息；另一种是年利率，按每年复利一次计算，年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资年可多得利息多少元？参考数据：，
分析：可分别根据复利与单利的计算方法，分别计算出本息和，再进行比较，判断优劣．
【解】本金万元，年利率，按单利计算，年后收回的本息和是
万元，
本金万元，年利率，按每年复利一次计算，年后收回的本息和是万元，
因此，按年利率的复利一次计算要比按年利率的单利计算更有利，年后多得利息万元．
点评：我国现行的定期储蓄中的自动转存业务是一种类似复利计息的储蓄．
追踪训练一
1．某工厂的一种产品的年产量第二年比第一年增加，第三年比第二年增加，求这两年的平均增长率 ．
解：设该产品第一年的年产量为，两年的平均增长率为，则
解得
2．在银行进行整存整取的定期储蓄，当到期时，银行会将本息和进行自动转存，某人年月日在银行存入元的一年定期，年利为，若他暂时不取这笔钱，当到年月日时，该笔存款的本息和为多少元？（精确到元）
答案：元.
3. 已知镭经过年剩留原来质量的，计算经过多少年剩留原来质量的一半？
分析：设原来的质量为，由题意可知
经过乘年剩留，
经过乘年剩留，
……
经过乘年剩留，
依题意有
【解】设经过乘年后剩留原来质量的一半，
依题意，有，
两边取对数，得
解得.
（年）.
答：约经过年剩留原来质量的一半.
【选修延伸】
一、函数与图像
高考热点1.（1998全国文11，理10）向高为的水瓶中注水，注满为止.如果注水量V与水深的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是（ ）
【解】答案
分析：如上图所示，取水深时，注水量，即水深至一半时，实际注水量大于水瓶总水量之半.中，、中，故排除、、，选.
思维点拔：
（1）解答应用题的基本步骤：①设：合理、恰当的设出变量；②写：根据题意，抽象概括数量关系，并能用数学语言表示，得到数学问题；③算：对所得数学问题进行分析、运算、求解；④答：将数学问题的解还原到生活实际问题，给出最终的答案.
（2）在用数学方法解决实际问题时的能力要求有：①阅读理解能力；②抽象概括能力；③数学语言的运用能力；④分析、解决数学问题的能力.
（3）分析图表是数学应用的一个重要方面，特别要能够结合图表分析函数，应好好体会．
追踪训练二
1．我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控手段以达到节约用水的目的．某市用水收费方法是：水费=基本费+超额费+损耗费．该市规定：（1）若每户每月用水量不超过最低限量立方米时，只付基本费元和每月的定额损耗费元；（2）若每户每月用水量超过立方米时，除了付基本费和损耗费外，超过部分每立方米付元的超额费；（3）每户每月的损耗费不超过元．
（Ⅰ）求每户月水费（元）与月用水量（立方米）的函数关系；
（Ⅱ）该市一家庭今年第一季度每月的用水量和支付的费用如下表所示，试分析一、二、三各月份的用水量是否超过最低限量，并求的值．
（Ⅰ）由题意，每月用水量为（立方米），支付费用（元），则
（Ⅱ）∵，∴，由表知，一、二月份的水费均大于元，故用水量立方米，立方米都大于最低限量立方米，将和分别代入的解析式，得 ，
由②①得，从而 ③，
又∵三月份用水量为立方米，
若，将代入
得，即这与③矛盾，
∴，即三月份用水量立方米没有超过最低限量．
此时有， ∴，代入③得，
综上：一、二月份用水量超过最低限量，三月份用水量没有超过最低限量，且．
点评：本例中对三月份的用水量是否超过最低限量的分析采用了假设检验的思想
【师生互动】
第34课 函数模型及其应用（2）
分层训练
1.某种细胞分裂时，由个变成个，由个变成个，┅┅，一个这样的细胞分裂次后，得到的细胞个数与的函数关系式是______________，在这个关系式中，的取值范围是 .，
2．某厂年的产值为万元，预计产值每年以递增，则该厂到年的产值（万元）为 （ ）
3．某新型电子产品年初投产，计划到年初使其成本降低，那么平均每年应降低成本（ ）
4．有元存款，储蓄一年后从利息中取出元，其余的钱加到本金里再储蓄一年，第二年的年利率比第一年高，利息比第一年多元，则第一年的年利率为 ．
5．已知镭经过年，剩留原来质量的，设质量为的镭经过年后的剩留量为，则关于的函数关系式是 ．
6．某城市现在人口总数为万人，如果每年自然增长率为，试解答下列问题：
（1）写出该城市人口总数（万人）与年份（年）的函数关系式；
（2）计算年以后该城市人口总数（精确到万人）；
（3）计算大约多少年以后该城市人口将达到万人（精确到年）.
7．据报道，年底世界人口达到亿，若世界人口的年平均增长率为，到年底全世界人口为亿，则与的函数关系
是 .
8．某种通过电子邮件传播的计算机病毒，在开始爆发后的个小时内，每小时有台计算机被感染，从第小时起，每小时被感染的计算机以增长率为的速度增长，则每小时被感染的计算机数与开始爆发后（小时）的函数关系为 .
9．某债券市场发行的三种债券：种面值元，一年到期本利共获元；种面值元，半年到期，本利共获元；种面值为元，但买入时只需付元，一年到期拿回元．则三种投资收益比例从小到大排列为 （ ）
10．某种商品，如果月初售出可获利元，再将本利存入银行，已知银行月息为，如果月末售出可获利元，但要付保管费元，问这种商品月初出售好，还是月末出售好？
11．某人承包了一片荒山，承包期限为年，准备栽种年可成材的树木．该树木从树苗到成材期间每年的木材增长率为，以后每年的木材增长率为，树木成材后，既可出售树木，重栽新树苗，也可让其继续生长至承包期满．问：哪一种方案可获得较多的成材木材量？ （参考数据：）
拓展延伸
12．甲、乙两人于同一天分别携款万元到银行储蓄.甲存五年期定期储蓄，年利率为（不记复利）；乙存一年期定期储蓄，年利率为，并在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄.按规定每次记息时，储户须交纳利息的作为利息税.若存满五年后两人同时从银行取出存款，则甲与乙所得利息的差为 ________ 元.（假定利率五年内保持不变，结果精确到元）
13.某公司为了实现万元的利润的目标,准备制定一个激励销售人员的奖励方案:在销售利润达到万元时，按销售利润进行奖励，且奖金（单位：万元）随销售利润（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过万元，同时奖金不超过利润的.现有三个奖励模型：，其中哪个模型能符合公司的要求.
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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