第3课 直线的方程（3）
【学习导航】
学习要求
（1）掌握直线方程的一般式（不同时为），
理解直线方程的一般式包含的两方面的含义：①直线的方程是都是关于的二元一次方程；②关于的二元一次方程的图形是直线；
（2）掌握直线方程的各种形式之间的互相转化．
【课堂互动】
自学评价
1．直线方程的一般式中，满足条件 不全为零 ，当，时，方程表示垂直于 轴 的直线，当，时，方程表示垂直于 轴 的直线．
【精典范例】
例1：已知直线过点，斜率为，求该直线的点斜式和一般式方程及截距式方程．
【解】经过点且斜率的直线方程的点斜式，化成一般式，得：，化成截距式，得：．
例2：求直线的斜率及轴，轴上的截距，并作图．
【解】直线的方程可写成，∴直线的斜率；轴上的截距为；当时，，
∴ 轴上的截距为．图略．
例3：设直线
根据下列条件分别确定的值：（1）直线在 轴上的截距为；（2）直线的斜率为．
【解】（1）令得 ，由题知，，解得．
（2）∵直线的斜率为，
∴，解得．
例4: 求斜率为，且与两坐标轴围成的三角形的面积为的直线方程．
【解】设直线方程为，
令，得，
∴，∴，
所以，所求直线方程为或．
追踪训练一
1.已知直线的倾斜角为，在轴上的截距为，求直线的点斜式、截距式、斜截式和一般式方程．
答案：点斜式方程：
斜截式方程：
截距式方程：
一般式方程：
【选修延伸】
一、直线经过象限问题
例5: 若直线不经过第二象限，求的取值范围．
分析：可以从直线的斜率和直线在轴上的截距两方面来考虑．
【解】直线方程可化为：
，
由题意得：，解得．
二、直线过定点问题
例6：求证：不论取什么实数，直线
恒过定点，并求此定点坐标．
【解】法1：令得；令得；两直线交点为，将点坐标代入原直线方程，得
恒成立，因此，直线过定点．
法2：将方程化为
，
当即时，以上方程恒成立，即定点的坐标恒满足原直线方程，因此，直线过定点．
例7：在例5中，能证明“直线恒过第三象限”吗？
提示：直线恒过定点，而点在第三象限．
思维点拔：
证明直线过定点问题，要找到一定点，证明其坐标始终满足直线方程即可，通常采用“例6”中的两种方法来寻求定点．
追踪训练二
1．若，则直线不经过（ ）
第一象限 第二象限
第三象限 第四象限
2．若直线经过第一、二、三象限，求实数满足的条件．
答案：将直线方程化为：，由已知可得；
当时，直线方程为，不满足条件，
∴实数满足条件
3．证明：不论取什么实数，直线
恒过定点，并求出该定点坐标．
提示：仿“例6”可证得直线过定点．
第5课 直线的方程（3）
分层训练
1．下列直线中，斜率为，且不经过第一象限的是（ ）
2．直线经过点，且与直线和轴围成等腰三角形，则这样的直线的条数共有（ ）
1条 2条 3条 4条
3．已知直线：（不全为0），点在上，则的方程可化为（ ）
考试热点
4．直线经过点，且通过一、二、三象限，它与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则直线的方程是（ ）
5．已知直线过点和，则直线的一般式方程为 ．
6．直线在两坐标轴上截距之和为2，则实数等于 ．
7．已知直线不经过第二象限，求实数的取值范围．
8．设直线的方程为
，根据下列条件求的值：（1）直线的斜率为1；（2）直线经过定点．
拓展延伸
9．求证：不论取什么实数，直线
总通过某个定点．
10．若方程仅表示一条直线，求实数的取值范围．
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