两条直线的平行与垂直(２)
【学习导航】
学习要求
1．掌握两条直线垂直的判定方法，并会根据直线方程判断两条直线是否垂直；
2．理解两条直线垂直条件的推导过程，注意解几思想的渗透和表述的规范性，培养学生的探索和概括能力．
【课堂互动】
自学评价
（1）当两条直线的斜率都存在时，如果它们 互相垂直 ，那么它们的斜率的乘积等于，反之，如果它们的斜率的乘积等于，那么它们 互相垂直 .
（2）若两条直线中的一条斜率不存在，则另一条斜率为 时，.
【精典范例】
例1：（1）已知四点，求证：．
（2）已知直线的斜率为，直线经过点，且，求实数的值．
【证明】（1）由斜率公式得：，
则， ∴．
（2）∵，∴，
即，
解得或，
∴当或时，．
点评:本题是两直线垂直判定的简单应用.
例2：已知三角形的三个顶点为，求边上的高所在的直线方程．
分析：由和垂直,求出的斜率,利用直线的点斜式便可求出高所在的直线方程．
【解】直线的斜率为， ∵， ∴，
根据点斜式，得到所求直线的方程为
， 即.
点评：一般地，与直线垂直的直线的方程可设为，其中待定．
例3：在路边安装路灯，路宽23，灯杆长，且与灯柱成角，路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线与灯杆垂直．当灯柱高为多少米时，灯罩轴线正好通过道路路面的中线？（精确到）
【解】记灯柱顶端为，灯罩顶为，灯管为，灯罩轴线与道路中线交于点．以灯柱底端为原点，灯柱为轴，建立如图所示的直角坐标系．
点的坐标为，点的坐标为，
∵，∴直线的倾斜角为，
则点的坐标为（），
即（），
∴，由直线的点斜式方程，得的方程为，
灯罩轴线过点，
∴，
解得
答：灯柱高约为．
点评:读懂题意,画出示意图,建立直角坐标系,构造数学模型是关键.
追踪训练一
1. 以为顶点的三角形是 （）
（）锐角三角形 （）直角三角形 （）钝角三角形
２.（2000京皖春，6）直线（）x+y=3和直线x+（）y=2的位置关系是 （ ）
（）相交不垂直 （）垂直
（）平行 （）重合
３. 过原点作直线的垂线，若垂足为，则直线的方程是．
４. 已知两直线，，求证：．
【选修延伸】
例4：（课本第91页 习题 第12题）直线和的方程分别是和，其中不全为0，也不全为0，试探究：
（1）当时，直线方程中的系数应满足什么关系？
（2）当时，直线方程中的系数应满足什么关系？
分析：由于和的斜率可能不存在，因此分类讨论．
【解】（1）①当两直线方程中的系数有一个为0时，
不妨设，则必有，此时直线垂直于轴，其方程为，由知也垂直于轴，其方程可以为，
此时满足；反之也成立．
②当两直线方程中的系数均不为0时，
直线和的斜率分别为，，由得，
即．反之也成立．
综合①②可知：当时，．
（2）①当两直线方程中的系数有一个为0时，
不妨设，则必有，此时直线垂直于轴，其方程为，由知，直线平行于轴，故其方程为，
满足，；反之也成立．
②当两直线方程中的系数均不为0时，
直线和的斜率分别为，，
由知，，∴．反之也成立．
综合①②可知：当时，．
点评：斜率是否存在的讨论是本题的难点所在．另外，分类讨论的数学思想也得到了充分的体现．
思维点拔：
1．求直线方程时，与或平行的直线可分别设为或（其中为待定系数）；与或垂直的直线可分别设为或（其中为待定系数）．
2．在解有关两直线平行或垂直问题时,应注意它们的斜率是否存在,否则需分类讨论.
追踪训练二
1．若直线与互相垂直，则实数的值为．
2．由四条直线：，，，围成的四边形是 ( )
等腰梯形梯形 长方形正方形
3．过点的所有直线中，距离原点最远的直线方程是．
4．分别经过点A(1,2)、B(2,4)的两条直线互相平行，当它们之间的距离达到最大时，求这两条直线的方程．
答案:经过的直线分别是及．
两条直线的平行与垂直（2）
分层训练
1. 若直线和直线垂直，则满足 ( )
(A) (B)
(C) (D)
2.已知两点，则与直线垂直的直线方程可写成 ( )
(A) (B) (C) (D)
3.已知两点，点在坐标轴上．若，则这样的点有 ( )
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
4. 原点在直线上的射影是，则的方程为 （ ）
(A) (B)
(C) (D)
5. 已知直线和互相垂直，且垂足为，则的值是 （ ）
(A) (B) (C) (D)
6. 根据条件，判断直线与是否垂直：
（１）的倾斜角为，的方程是： ；
（２）经过点，过点： .
7.直线在轴上的截距为2，且与直线垂直，则的方程是 ．
8. 已知直线和直线垂直且垂足的坐标为，则 ， ， .
9．求经过点，且与直线垂直的直线的方程．
10.已知正方形的一个顶点为,一边所在的直线方程为,求以为端点的两边所在直线的方程.
拓展延伸
11.已知直线和,求当为何值时．
12.若三角形的一个顶点是,两条高所在的直线的方程为和,试求此三角形三边所在直线的方程.
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