第八课时 函数的最值
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学习要求
1．了解函数的最大值与最小值概念；
2．理解函数的最大值和最小值的几何意义；
3．能求一些常见函数的最值和值域．
自学评价
1．函数最值的定义：
一般地，设函数的定义域为．
若存在定值，使得对于任意，有恒成立，则称为的最大值，记为；
若存在定值，使得对于任意，有恒成立，则称为的最小值，记为；
2．单调性与最值：
设函数的定义域为，
若是增函数，则 ， ；
若是减函数，则 ， ．
【精典范例】
一．根据函数图像写单调区间和最值：
例1：如图为函数，的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间．
【解】
由图可以知道：
当时，该函数取得最小值；
当时，函数取得最大值为；
函数的单调递增区间有２个：和；
该函数的单调递减区间有三个：、和
二．求函数最值：
例2：求下列函数的最小值：
（1）；
（2），．
【解】
（１）
∴当时，；
（２）因为函数在上是单调减函数，所以当时函数取得最小值为．
追踪训练一
1. 函数在上的最小值（A ）
与的取值有关
不存在
2. 函数的最小值是 ０ ，最大值是 ．
3. 求下列函数的最值：
(1)；
(2)
析：因为函数的最值是值域中的最大值和最小值，所以求函数的最值的方法有时和求函数值域的方法是相仿的．
解：(1);;
所以当时，；当时，；
(2)函数是一次函数，且
故在区间上是增函数
所以当时，；
当时，；
【选修延伸】
含参数问题的最值：
例３: 求，的最小值．
【解】
，其图象是开口向上，对称轴为的抛物线．
①若，则在上是增函数，∴；
②若，则；
③若，则在上是减函数，∴的最小值不存在．
点评:
含参数问题的最值，一般情况下，我们先将参数看成是已知数，但不能解了我们再进行讨论！
思维点拔：
一、利用单调性写函数的最值？
我们可以利用函数的草图，如果函数在区间上是图像连续的，且在 是单调递增的，在上是单调递减的，则该函数在区间上的最大值一定是在处取得；同理，若函数在区间上是图像连续的，且在 是单调递减的，在上是单调递增的，则该函数在区间上的最小值一定是在处取得．
追踪训练
１．函数的最大值是
( D)
2. y=x2+的最小值为( C )
A.0 B. C.1 D不存在.
3. 函数在区间上的最大值为，则________．
4.函数的最大值为 .
5．已知二次函数在上有最大值4，求实数的值．
解：函数的对称轴为，
当时，则当时函数取最大值，即即；
当时，则当时函数取得最大值，即，即
所以，或。
第8课 函数的最值
分层训练
1．函数在实数集上是增函数，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数f(x)在区间[a,b]上单调且f(a)f(b)<0,则方程f(x)=0在区间[a,b]内 （ ）
A． 至少有一实根 B． 至多有一实根
C．没有实根 D．必有唯一的实根
3．已知f(x)=8+2x－x2,如果g(x)=f( 2－x2 ),那么g(x) （ ）
A．在区间(－1,0)上是减函数
B．在区间(0,1)上是减函数
C．在区间(－2,0)上是增函数
D．在区间(0,2)上是增函数
考试热点
4．函数的最小值是 ．
5．已知x∈[0,1],则函数y=－ 的最大值为_____.最小值为_____.
6．函数，单调递减区间为 ，最大值为 .
7．．已知函数 求: (1) 当时， 函数的最值;
(2) 当时， 函数的最值．
8．已知函数．
（1）当时，求函数的最小值；
（2）若对任意恒成立，试求实数的取值范围．
拓展延伸
9．已知≤≤1，若函数在区间[1，3]上的最大值为，最小值为，令．
（1）求的函数表达式；
（2）判断函数在区间[，1]上的单调性，并求出的最小值 .
10．在经济学中，函数的边际函数为，定义为，某公司每月最多生产100台报警系统装置。生产台的收入函数为（单位元），其成本函数为（单位元），利润的等于收入与成本之差.
①求出利润函数及其边际利润函数；
②求出的利润函数及其边际利润函数是否具有相同的最大值；
③你认为本题中边际利润函数最大值的实际意义.
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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