两直线的交点
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知识网络
两条直线的方程分别是
，
．
构成方程组．（＊）
学习要求
1．知道两条直线的相交、平行和重合三种位置关系，对应于相应的二元一次方程组有唯一解、无解和无穷多组解；
2．当两条直线相交时，会求交点坐标；
3．学生通过一般形式的直线方程解的讨论，加深对解析法的理解，培养转化能力．
【课堂互动】
自学评价
（1）求两直线的交点坐标只需将这两条直线的方程联立成方程组， 方程组的解 即为交点坐标.
（2）在解由两直线的方程组成的方程组的时候可能出现的三种结果是：
①方程组有一组解，该解为 交点坐标 ；
②方程组有无数组解，此时两直线的位置关系为 重合 ，交点个数为 无数个 ；
③方程组无解，此时两直线的位置关系是 平行 ，交点个数为 0个．
【精典范例】
例1：分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点：
（1）:，:；
（2）:，
:；
（3）:，:．
【解】（1）因为方程组的解为,
因此直线相交，交点坐标为．
（2）方程组有无数组解，
这表明直线重合．
（3）方程组无解，
这表明直线没有公共点，故∥．
点评: 研究两条直线的位置关系（相交、重合、平行）可以转化为两条直线方程所得的方程组的解的个数问题．
例2：直线经过原点，且经过另外两条直线，的交点，求直线的方程．
分析：法一 由两直线方程组成方程组，求出交点，再过原点，由两点求直线方程．
法二 设经过两条直线，交点的直线方程为，又过原点，由代入可求的值．
点评:已知直线:，:相交，那么过两直线的交点的直线方程可设为
例3：某商品的市场需求（万件）、市场供求量（万件）、市场价格（元/件）分别近似地满足下列关系：．当时的市场价格称为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量．
（1）求市场平衡价格和平衡需求量；
（2）若要使平衡需求量增加4万件，政府对每件商品应给予多少元补贴？
分析：市场平衡价格和平衡需求量实际上就是两直线交点的横坐标和纵坐标，即方程组的解．
【解】（1）解方程组得，
故平衡价格为30元/件，平衡需求量为40元/件．
（2）设政府给予元/件补贴，此时的市场平衡价格（即消费者支付价格）元/件，则供货者实际每件得到元．依题意得方程组，解得．
因此，政府对每件商品应给予6元补贴．
点评:这是一道关于两直线交点的实际应用题,关键要读懂题目意思,而后通过解方程组解决问题.
追踪训练一
1. 若一条直线过点(2,1)，且与另一条直线相交于点(1,2),则该直线的方程为．
2. 若三条直线 相交于一点，则的值等于 （ ）
3. 三条直线，，有且只有两个交点，则
3或-6．
【选修延伸】
两直线的交点的其他应用
例4: 已知三条直线：，：，：，求分别满足下列条件的的值：
（1）使这三条直线交于同一点；（2）使这三条直线不能构成三角形．
分析：三条直线交于同一点的条件是两直线交点在第三条直线上；三条直线不能构成三角形的条件是三条直线交于一点或其中有两条直线平行．
【解】要使三直线交于一点，则与不平行，∴，
∴由得，即与交点为，
代入方程得，解得或．
（2）若、、交于一点，则或；若，则；
若，则；若，则无解，
综上可得：或或或．
点评：三条直线要能构成三角形，只需两两不平行即可．
例5：求证：不论为何实数，直线：恒过一定点，并求出此定点的坐标．
分析：证明直线过定点即证定点坐标始终满足直线方程．
【解】（法一）将直线方程整理为
，该方程表示过直线和交点的直线，
由得交点，∴直线过定点．
（法二）令得，得，两直线和交点为，
将代入直线方程得恒成立，所以，直线过定点．
点评：以上两种方法是处理直线过定点问题的常用方法．
思维点拔：
因为直线上点的坐标就是对应方程的解,所以两直线是否有交点,取决于它们对应方程组成的方程组是否有唯一解.体验“形”的问题怎样通过“数”的运算来解决,从而感悟到解析几何的本质(即用代数的方法来研究或解决几何问题).
追踪训练二
１．已知两直线和的交点是，则过两点的直线方程是 （ ）
2．（2002北京文，6）若直线l：y＝kx与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是 （ ）
解法一：求出交点坐标，再由交点在第一象限求得倾斜角的范围
∵交点在第一象限，
∴ ∴
∴k∈（，＋∞）
∴倾斜角范围为（）
解法二：如图，直线2x+3y－6=0过点A（3，0），B（0，2），直线l必过点（0，－），当直线过A点时，两直线的交点在x轴，当直线l绕C点逆时针旋转时，交点进入第一象限，从而得出结果.
点评：解法一利用曲线与方程的思想，利用点在象限的特征求得，而解法二利用数形结合的思想，结合平面几何中角的求法，可迅速、准确求得结果.
３．设（为非零常数），则直线恒过点．
４．求证：不论为何实数，直线：恒过一定点，并求出此定点的坐标．
答案：定点坐标为．
两条直线的交点
分层训练
1. 直线与
重合,则必有 ( )
(A) .
(B) .
(C)两直线斜率和截距都相等.
(D) .
2. 下列直线中,与直线相交的直线是 ( )
(A) . (B) .
(C) . (D) .
3. 若三条直线,,
相交于一点,则实数的值等于（ ）
(A)-2. (B) . (C)2. (D) .
4. 当取不同的实数时，直线恒过一个定点，这个定点的坐标是 （ ）
(A) . (B) .
(C) . (D) .
5.已知点关于直线的对称点为，则直线的斜率为 ．
6.如果两条直线和的交点在轴上，则的值为 ．
7. 直线与直线垂直并相交于点，则 ， ， .
8. 求经过和的交点，且与直线垂直的直线方程.
9. 若三条直线，，不能围成三角形,求实数的值.
拓展延伸
10. (1)当变化时，方程表示什么图形？图形有何特点？
(2)求经过直线和的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程．
11. 已知过原点的直线与两直线，交点的横坐标分别为，且，求直线的方程．
12. 已知两点和，直线与线段相交，求的取值范围．
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