平面上两点间的距离
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学习要求
1．掌握平面上两点间的距离公式、中点坐标公式；
2．能运用距离公式、中点坐标公式解决一些简单的问题．
【课堂互动】
自学评价
（1）平面上两点之间的距离公式为
．
（2）中点坐标公式：对于平面上两点，线段的中点是，则．
【精典范例】
例1：（1）求A(-1,3)、B（2，5）两点之间的距离；
（2）已知A（0，10），B（a，-5）两点之间的距离为17，求实数a的值．
【解】(1)由两点间距离公式得AB=
(2) 由两点间距离公式得,解得 a=．
故所求实数a的值为8或-8．
例2：已知三角形的三个顶点，试判断的形状．
分析：计算三边的长，可得直角三角形．
【解】
,
∵，
∴为直角三角形.
点评：本题方法多样，也可利用、斜率乘积为-1，得到两直线垂直.
例3：已知的顶点坐标为，求边上的中线的长和所在的直线方程．
分析：由中点公式可求出中点坐标,分别用距离公式、两点式就可求出的长和所在的直线方程．
【解】如图，设点．
∵点是线段的中点，
∴
，
即的坐标为．
由两点间的距离公式得．
因此，边上的中线的长为．
由两点式得中线所在的直线方程为
，即．
点评:本题是中点坐标公式、距离公式的简单应用.
例4．已知是直角三角形，斜边的中点为，建立适当的直角坐标系，
证明：．
证：如图，以的直角边所在直线为坐标轴，建立适当的直角坐标系，
设两点的坐标分别为，
∵是的中点，
∴点的坐标为，即．
由两点间的距离公式得
所以，．
追踪训练一
1.式子可以理解为()
两点(a,b)与(1,-2)间的距离
两点(a,b)与(-1,2)间的距离
两点(a,b)与(1,2)间的距离
两点(a,b)与(-1,-2)间的距离
2.以A(3,-1), B(1,3)为端点的线段的垂直平分线的方程为 ()
2x+y-5=0 2x+y+6=0
x-2y=0 x-2y-8=0
3. 线段AB的中点坐标是(-2,3),又点A的坐标是(2,-1),则点B的坐标是．
4．已知点，若点在直线上，求取最小值．
解:设点坐标为,∵在直线上，∴，
，
∴的最小值为．
【选修延伸】
对称性问题
例5: 已知直线，（1）求点关于对称的点；（2）求关于点对称的直线方程．
分析：由直线垂直平分线段，可设，有垂直关系及中点坐标公式可求出点；而关于点对称的直线必平行，因此可求出对称的直线方程．
【解】（1）设，由于⊥，且中点在上，有
，解得
∴
（2）在上任取一点，如，则关于点对称的点为．
∵所求直线过点且与平行，
∴方程为，即．
例6：一条光线经过点,射在直线上，反射后，经过点，求光线的入射线和反射线所在的直线方程．
分析：入射光线和反射光线所在直线都经过反射点，反射直线所在直线经过点关于直线的对称点．
【解】入射线所在的直线和反射线所在的直线关于直线对称，设点关于直线对称点的坐标为，因此的中点在直线上，且所在直线与直线垂直，
所以，
解得．
反射光线经过两点，∴反射线所在直线的方程为．
由得反射点．
入射光线经过、两点，
∴入射线所在直线的方程为．
点评:求点关于直线的对称点，通常都是根据直线垂直于直线，以及线段的中点在直线上这两个关系式列出方程组，然后解方程组得对称点的坐标．
思维点拔：
平面上两点间的距离公式为，线段中点坐标为.平面上两点间距离公式及中点坐标公式有着广泛的应用，如：计算图形面积，判断图形形状等.同时也要注意掌握利用中点坐标公式处理对称性问题.
追踪训练二
1．点(-1,2)关于直线x+y-3=0的对称点的坐 标为 ( )
(1,4) (-1,4) (1,-4) (-1,-4)
2．直线3x-y-2=0关于x轴对称的直线方程为．
3．已知点,试求点的坐标,使四边形为等腰梯形．
答案:点的坐标为或．
4．已知定点，，，求的最小值．
(数形结合:将看成是轴上的动点与两点的距离和,利用对称性,得到最小值为).
平面上两点间的距离
分层训练
1. 若
，则下面四个结论：
①；②；③；④．其中，正确的个数是 ( )
(A)１个. (B) 2个.
(C)3个. (D) 4个.
2. 点关于点的对称点的坐标是 ( )
(A) (B)
(C) (D)
3. 若过点的直线交轴于点点，且，则直线的方程为 （ ）
(A) (B)
(C)
(D)
4.直线关于点对称的直线的方程是 （ ）
(A) (B)
(C) (D) .
5.如果直线与直线关于直线对称，那么 （ ）
(A) (B)
(C) (D) .
6. 若直线在轴上的截距为－2，上横坐标分别是3，－4的两点的线段长为14，则直线的方程为 ．
7. 已知的三个顶点，，，则边上的中线所在直线的方程为 ．
8.若直线过点，且被坐标轴截得的线段的中点恰为，则直线的方程是 ．
9. 若点的横坐标分别为,直线的斜率为，则 ．
10.已知直线和点，过点作直线与直线相交于点，且，求直线的方程．
11. 过点作直线，使它被直线和所截得的线段恰好被平分，求直线的方程．.
拓展延伸
12.(1)已知点，，在轴上求一点，使得最小；
(2) 已知点，，在轴上求一点，使得最大，并求最大值．
13.求函数的最小值及相应的值．
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