借鉴竞赛试题，决战2011高考
高考数学与竞赛数学有交汇部分，一些好的竞赛试题常成为高考试题的生长点，因此数学竞赛试题对高三复习备考有很好的参考价值，现从全国及各省市数学竞赛试题中精选60多道与高考数学内容联系比较紧密的选择题，供数学成绩较好的高三学生参考.
1．设在xOy平面上，01时,
故
因此,应选(B)
43.设a，b是夹角为30°的异面直线，则满足条件“，，且”的
平面，
A. 不存在 B. 有且只有一对
C. 有且只有两对 D. 有无数对
解 任作a的平面，可以作无数个. 在b上任取一点M，过M作的垂线. b与
垂线确定的平面垂直于. 选D.
44.在四面体ABCD中，设AB＝1，CD＝，直线AB与CD的距离为2，夹角为，则四面体ABCD的体积等于
A． B． C． D． 答（ ）
6．如图，过C作CE∥AB且CE＝AB，以△CDE为底面，BC为侧棱作棱柱ABF—ECD，则所求四面体的体积V1等于上述棱柱体积V2的．而△CDE的面积S＝CE×CD×sin∠ECD，AB与CD的公垂线MN就是棱柱ABF－ECD)的高，故 ，因此，故选(B)．
45.顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点，O为底面圆的圆心，，垂足为B，，垂足为H，且PA=4，C为PA的中点，则当三棱锥O－HPC的体积最大时，OB的长是（ ）
A. B. C. D.
解：
。C是PA中点，
最大，
也即最大。
此时，
，
故选D。
46.过四面体的顶点作半径为的球，该球与四面体的外接球相切于点，且与平面相切。若，则四面体的外接球的半径为（ ）。
答 选。
过作平面的垂线，垂足为，作，垂足为，，垂足为，则，且有。由于，则，，，因此为半径为的球的直径，从而四面体的外接球的球心在的延长线上，于是有，解得。
47.若点是的外心，且，则的值为B
（A）1? （B）? （C）?? （D）
48.圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周）。若AM⊥MP，则P点形成的轨迹的长度为（ ）
A. B. C. 3 D.
解：建立空间直角坐标系。设A(0,-1,0), B(0,1,0),, ，P(x,y,0).于是有由于AM⊥MP，所以
，即，此为P点形成的轨迹方程，其在底面圆盘内的长度为。 因此 选 B。
49.以为六条棱长的四面体个数为 （ ）
A. 2 B. 3 ? C. 4 D. 6
解：以这些边为三角形仅有四种：，，，。
固定四面体的一面作为底面：
当底面的三边为时，另外三边的取法只有一种情况，即；
当底面的三边为时，另外三边的取法有两种情形，即，。
其余情形得到的四面体均在上述情形中。由此可知，四面体个数有３个。 应选 Ｂ。
50.对于一个有n项的数列P=(p1，p2，…，pn)，P的“蔡查罗和”定义为s1、s2、…sn、的算术平均值，其中sk=p1+p2+…pk(1≤k≤n)，若数列(p1，p2，…，p2006)的“蔡查罗和”为2007，那么数列(1，p1，p2，…，p2006)的“蔡查罗和”为 （A）
A．2007 B．2008 C．2006 D．1004
51.在直三棱柱中，，. 已知Ｇ与Ｅ分别为和的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段和上的动点（不包括端点）. 若，则线段的长度的取值范围为
A. B. C. D. 【答】 （ A ）
【解】建立直角坐标系，以Ａ为坐标原点，ＡＢ为ｘ轴，ＡＣ为ｙ轴，ＡＡ１为ｚ轴，则（），，，（）。所以，。因为，所以，由此推出 。又，，从而有 。
52.设函数，若对于一切都成立，则函数
可以是D
（A）? （B）? （C）? （D）
53.已知两点A (1,2), B (3,1) 到直线L的距离分别是，则满足条件的直线L共有（ C ）条。
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
解: 由分别以A，B为圆心，，为半径作两个圆，则两圆外切，有三条共切线。正确答案为C。
54.给定数列{xn}，x1=1，且xn+1=，则= （ ）
A．1 B．-1 C．2+ D．-2+
解：xn+1=，令xn=tanαn，∴xn+1=tan(α n+), ∴xn+6=xn, x1=1，x2=2+, x3=-2-, x4=-1, x5=-2+, x6=2-, x7=1，……，∴有。故选A。
55.已知椭圆的方程为，椭圆上离顶点最远点为，则的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
解：任取椭圆上一点，则有，由题设知，当时，有最大值，则对称轴满足，则可解得。故选B。
56.若，则的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
【解】：设 ， 。又由 ，故 。因此有 ，即
由于，所以有 ，即。 选 【 D 】
57.那么的最大值是C
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
58.设，，若直线和椭圆有公共点，则的取值范围是（ ）.
、； 、； 、； 、.
答：．
解：将代入椭圆方程并整理得，，
因直线和椭圆有公共点，则判别式，利用
，化简得，所以．即．
59.设圆O1和圆O2是两个定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹不可能是（ A ）
解：设圆O1和圆O2的半径分别是r1、r2，|O1O2|=2c，则一般地，圆P的圆心轨迹是焦点为O1、O2，且离心率分别是和的圆锥曲线（当r1=r2时，O1O2的中垂线是轨迹的一部份，当c=0时，轨迹是两个同心圆）。
当r1=r2且r1+r2<2c时，圆P的圆心轨迹如选项B；当0<2c<|r1?r2|时，圆P的圆心轨迹如选项C；当r1≠r2且r1+r2<2c时，圆P的圆心轨迹如选项D。由于选项A中的椭圆和双曲线的焦点不重合，因此圆P的圆心轨迹不可能是选项A。
60.在1，2，3，4，5的排列中，满足条件
的排列个数是（ ）
A、10； B、12； C、14； D、16.
.
提示：由已知条件知只可能 或，且.
当时,则或
当时,有!=种排列:当时,有!=种排列,即共有8种排列.
同理,当时,也有8种排列. 故应选 .
61.已知集合，,，且，则整数对的个数为
A. 20 B. 25 C. 30 D. 42 【答】 （ C ）
【解】 ；。要使，则
，即。所以数对共有。
62. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。甲从袋中摸出一个球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b。则使不等式a?2b+10>0成立的事件发生的概率等于（ D ）
A. B. C. D.
解：甲、乙二人每人摸出一个小球都有9种不同的结果，故基本事件总数为92=81个。由不等式a?2b+10>0得2b30,所以3022.5,所以22.5
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