线性回归方程
第25课时
【学习导航】
学习要求
1．理解线性回归的基本思想和方法，体会变量之间的相关关系。线性回归方程的求法。
2．会画出一组数据的散点图，并会通过散点图判断出这组数据是否具有线性关系。
【课堂互动】
自学评价
在实际问题中，变量之间的常见关系有两类：一类是确定性函数关系，变量之间的关系可以用函数表示，另一类是相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达
2.建立平面直角坐标系，将数据构成的数对所表示的点在坐标系内标出，这样的图称为散点图(scatter diagram)
3．在散点图中如果点散布在一条直线的附近，可用线性函数近似地表示x和y 之间的关系。选择怎样的直线我们有下列思考方案：
(1) 选择能反映直线变化的两个点
(2)取一条直线，使得位于该直线一侧和另一侧点的个数基本相同
(3)多取几组点，确定几条直线方程，再分别 算出各条直线斜率、截距的平均值，作为所求直线的斜率、截距
4．用方程为的直线拟合散点图中的点，应使得该直线与散点图中的点最接近。用最小二乘法来求、的原理和方法
见教科书P72
5.能用直线方程近似表示的相关关系叫做线性相关关系(linear correlation)
6.设有(x,y)的n对观察数据如下：
…
…
当a,b使
取得最小值时，就称为拟合这n对数据的线性回归方程(linear regression equation),将该方程所表示的直线称为回归直线。
6．用书上的方法3，可求得线性回归方程中的系数：
= (*)
7．用回归直线进行拟合的一般步骤为：
(1)作出散点图，判断散点是否在一条直线附近
(2)如果散点在一条直线附近，用上面的公式求出a,b,并写出线性回归方程
【精典范例】
例1 下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料，请判断机动车辆数与交通事故数之间是否具有线性相关关系，如果具有线性相关关系，求出线性回归方程；如果不具有线性相关关系，说明理由。
机动车辆数x/千台
95
110
112
120
129
135
150
180
交通事故数y/千件
6.2
7.5
7.7
8.5
8.7
9.8
10.2
13
【解】
在直角坐标系中描出数据的散点图，直观判断散点在一直线附近，故具有线性相关关系，计算相应的数据之和：
，
将它们代入(*)式计算得
，，
所以，所求线性回归方程为
例2 一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间 ，为此进行了10次试验，测得数据如下：
零件数x(个)
10
20
30
40
50
加工时间y(分)
62
68
75
81
89
零件数x(个)
60
70
80
90
100
加工时间y(分)
95
102
108
115
122
(1)画出散点图；
(2)如果散点图中的各点大致分布在一条直线的附近，求y与x之间的线性回归方程。
【解】
(1)
(2)由表中数据 ，可以求得：
，，
，
将它们代入(*)式计算得
,
因此所求的回归直线方程是
追踪训练
1、下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（ D ）
A．角度和它的余弦值
B.正方形边长和面积
C．正ｎ边形的边数和它的内角和
D.人的年龄和身高
2、下面是我国居民生活污水排放量的一组数据(单位：t)，试分别估计1996年和2004年我国居民生活污水排放量。
年 份
1995
1996
1997
1998
排放量
151
189.1
194.8
年 份
1999
2000
2001
2002
排放量
203.8
220.9
227.7
232.3
解：通过散点图(如下图，EXCEL制作)可以发现年份与污水排放量之间具有线性相关关系，用公式可求得线性回归方程为：
=11.447 x-22678
所以，当x=1996时，y=170.2(108t)；
当x=2004时，y=261.8(108t).
第10课时线性回归方程(1)
分层训练
1．长方形的面积一定时，长和宽具有( )
(A)不确定性关系 (B)相关关系
(C)函数关系 (D)无任何关系
2．三点（3,10），（7,20），（11,24）的线性回归方程是 （ ）
(A) (B) (C) (D)
3．已知线性回归方程为：，则x＝25时，y 的估计值为________
4．一家保险公司调查其总公司营业部的加班效果，收集了10周中每周加班时间y（小时）与签发新保单数目x的数据如下表：
x
825
215
1070
550
480
y
3.5
1.0
4.0
2.0
1,0
x
920
1350
325
670
1215
y
3.0
4.5
1.5
3.0
5.0
则y关于x估计的线性回归方程为____________________(保留四位有效数字)
5．炼铝厂测得所产铸模用的铝的硬度x与抗张强度y的数据如下：
x
63
53
70
84
60
y
288
293
349
343
290
x
72
51
83
70
64
y
354
283
324
340
286
求y与x的线性回归方程。（小数点后保留两位有效数字）
思考运用
6．在某种产品表面进行腐蚀刻线试验，得到腐蚀深度y与腐蚀时间x之间相应的一组观察值如下表：
x(s)
5
10
15
20
30
40
Y(um)
6
10
10
13
16
17
x(s)
50
60
70
90
120
Y(um)
19
23
25
29
46
求腐蚀深度y对腐蚀时间x的线性回归方程。
7．假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元），有如下的统计资料：
使用年限x
2
3
4
5
6
维修费用y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
若由资料知y对x呈线性相关关系。
试求：（1）线性回归方程的回归系数, ;
(2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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