高中数学第十三章-极 限
考试内容：
? 教学归纳法．数学归纳法应用．
数列的极限．
函数的极限．根限的四则运算．函数的连续性．
考试要求：
（1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．
（2）了解数列极限和函数极限的概念．
（3）掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限．
（4）了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质．
§13. 极 限 知识要点
1. ⑴第一数学归纳法：①证明当取第一个时结论正确；②假设当（）时，结论正确，证明当时，结论成立.
⑵第二数学归纳法：设是一个与正整数有关的命题，如果
①当（）时，成立；
②假设当（）时，成立，推得时，也成立.
那么，根据①②对一切自然数时，都成立.
2. ⑴数列极限的表示方法：
①
②当时，.
⑵几个常用极限：
①（为常数）
②
③对于任意实常数，
当时，
当时，若a = 1，则；若，则不存在
当时，不存在
⑶数列极限的四则运算法则：
如果，那么
①
②
③
特别地，如果C是常数，那么
.
⑷数列极限的应用：
求无穷数列的各项和，特别地，当时，无穷等比数列的各项和为.
（化循环小数为分数方法同上式）
注：并不是每一个无穷数列都有极限.
3. 函数极限；
⑴当自变量无限趋近于常数（但不等于）时，如果函数无限趋进于一个常数，就是说当趋近于时，函数的极限为.记作或当时，.
注：当时，是否存在极限与在处是否定义无关，因为并不要求.（当然，在是否有定义也与在处是否存在极限无关.函数在有定义是存在的既不充分又不必要条件.）
如在处无定义，但存在，因为在处左右极限均等于零.
⑵函数极限的四则运算法则：
如果，那么
①
②
③
特别地，如果C是常数，那么
.
（）
注：①各个函数的极限都应存在.
②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况.
⑶几个常用极限：
①
②（0＜＜1）；（＞1）
③
④，（）
4. 函数的连续性：
⑴如果函数f（x），g（x）在某一点连续，那么函数在点处都连续.
⑵函数f（x）在点处连续必须满足三个条件：
①函数f（x）在点处有定义；②存在；③函数f（x）在点处的极限值等于该点的函数值，即.
⑶函数f（x）在点处不连续（间断）的判定：
如果函数f（x）在点处有下列三种情况之一时，则称为函数f（x）的不连续点.
①f（x）在点处没有定义，即不存在；②不存在；③存在，但.
5. 零点定理，介值定理，夹逼定理：
⑴零点定理：设函数在闭区间上连续，且.那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点（＜＜）使.
⑵介值定理：设函数在闭区间上连续，且在这区间的端点取不同函数值，，那么对于之间任意的一个数，在开区间内至少有一点，使得（＜＜）.
⑶夹逼定理：设当时，有≤≤，且，则必有
注：：表示以为的极限，则就无限趋近于零.（为最小整数）
6. 几个常用极限：
①
②
③为常数）
④
⑤为常数） w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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