第十一节变化率与导数、导数的计算
[知识能否忆起]
一、导数的概念
1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
(1)定义：
称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
＝ 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝ .
(2)几何意义：
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
2．函数f(x)的导函数
称函数f′(x)＝ 为f(x)的导函数．
二、基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xn(n∈Q*)
f′(x)＝nxn－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax
f′(x)＝axln_a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax
f′(x)＝
f(x)＝ln x
f′(x)＝
三、导数的运算法则
1．[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
2．[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
3.′＝(g(x)≠0)．
(理)4.复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
[小题能否全取]
1．(教材习题改编)若f(x)＝xex，则f′(1)＝( )
A．0 B．e
C．2e D．e2
解析：选C ∵f′(x)＝ex＋xex，∴f′(1)＝2e.
2．曲线y＝xln x在点(e，e)处的切线与直线x＋ay＝1垂直，则实数a的值为( )
A．2 B．－2
C. D．－
解析：选A 依题意得y′＝1＋ln x，y′x＝e＝1＋ln e＝2，所以－×2＝－1，a＝2.
3．(教材习题改编)某质点的位移函数是s(t)＝2t3－gt2(g＝10 m/s2)，则当t＝2 s时，它的加速度是( )
A．14 m/s2 B．4 m/s2
C．10 m/s2 D．－4 m/s2
解析：选A 由v(t)＝s′(t)＝6t2－gt，a(t)＝v′(t)＝12t－g，得t＝2时，a(2)＝v′(2)＝12×2－10＝14(m/s2)．
4．(2012·广东高考)曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________．
解析：∵y′＝3x2－1，∴y′x＝1＝3×12－1＝2.
∴该切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.
答案：2x－y＋1＝0
5．函数y＝xcos x－sin x的导数为________．
解析：y′＝(xcos x)′－(sin x)′
＝x′cos x＋x(cos x)′－cos x
＝cos x－xsin x－cos x
＝－xsin x.
答案：－xsin x
1.函数求导的原则
对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．
2．曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别与联系
(1)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，切线斜率为k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线．
(2)曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点．点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．
利用导数的定义求函数的导数
典题导入
[例1] 用定义法求下列函数的导数．
(1)y＝x2； (2)y＝.
[自主解答] (1)因为＝
＝
＝＝2x＋Δx，
所以y′＝ ＝ (2x＋Δx)＝2x.
(2)因为Δy＝－＝－，
＝－4·，
所以 ＝ ＝－.
由题悟法
根据导数的定义，求函数y＝f(x)在x＝x0处导数的步骤
(1)求函数值的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)求平均变化率＝；
(3)计算导数f′(x0)＝li .
以题试法
1．一质点运动的方程为s＝8－3t2.
(1)求质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度；
(2)求质点在t＝1时的瞬时速度(用定义及导数公式两种方法求解)．
解：(1)∵s＝8－3t2，
∴Δs＝8－3(1＋Δt)2－(8－3×12)＝－6Δt－3(Δt)2，
＝＝－6－3Δt.
(2)法一(定义法)：质点在t＝1时的瞬时速度
v＝li ＝li (－6－3Δt)＝－6.
法二(导数公式法)：质点在t时刻的瞬时速度
v＝s′(t)＝(8－3t2)′＝－6t.
当t＝1时，v＝－6×1＝－6.
导数的运算
典题导入
[例2] 求下列函数的导数．
(1)y＝x2sin x；(2)y＝；
[自主解答] (1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x.
(2)y′＝
＝＝.
则y′＝(ln u)′u′＝·2＝，
即y′＝.
由题悟法
求导时应注意：
(1)求导之前利用代数或三角恒等变换对函数进行化简可减少运算量．
(2)对于商式的函数若在求导之前变形，则可以避免使用商的导数法则，减少失误．
以题试法
2．求下列函数的导数．
(1)y＝ex·ln x；(2)y＝x；
解：(1)y′＝(ex·ln x)′
＝exln x＋ex·＝ex.
(2)∵y＝x3＋1＋，∴y′＝3x2－.
导数的几何意义
典题导入
[例3] (1)(2011·山东高考)曲线y＝x3＋11在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )
A．－9 B．－3
C．9 D．15
(2)设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为( )
A．－ B．2
C．4 D．－
[自主解答] (1)y′＝3x2，故曲线在点P(1,12)处的切线斜率是3，故切线方程是y－12＝3(x－1)，令x＝0得y＝9.
(2)∵曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，∴g′(1)＝k＝2.
又f′(x)＝g′(x)＋2x，
∴f′(1)＝g′(1)＋2＝4，故切线的斜率为4.
[答案] (1)C (2)C
若例3(1)变为：曲线y＝x3＋11，求过点P(0,13)且与曲线相切的直线方程．
解：因点P不在曲线上，设切点的坐标为(x0，y0)，
由y＝x3＋11，得y′＝3x2，
∴k＝y′|x＝x0＝3x.
又∵k＝，∴＝3x.
∴x＝－1，即x0＝－1.
∴k＝3，y0＝10.
∴所求切线方程为y－10＝3(x＋1)，
即3x－y＋13＝0.
由题悟法
导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：
(1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′(x0)；
(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k；
(3)已知切线过某点M(x1，f(x1))(不是切点)求切点，设出切点A(x0，f(x0))，利用k＝＝f′(x0)求解．
以题试法
3．(1)(2012·新课标全国卷)曲线y＝x(3ln x＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．
(2)(2013·乌鲁木齐诊断性测验)直线y＝x＋b与曲线y＝－x＋ln x相切，则b的值为( )
A．－2 B．－1
C．－ D．1
解析：(1)y′＝3ln x＋1＋3，所以曲线在点(1,1)处的切线斜率为4，所以切线方程为y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3.
(2)设切点的坐标为，依题意，对于曲线y＝－x＋ln x，有y′＝－＋，所以－＋＝，得a＝1.又切点 在直线y＝x＋b上，故－＝＋b，得b＝－1.
答案：(1)y＝4x－3 (2)B
1．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为( )
A．2(x2－a2) B．2(x2＋a2)
C．3(x2－a2) D．3(x2＋a2)
解析：选C f′(x)＝(x－a)2＋(x＋2a)[2(x－a)]＝3(x2－a2)．
2．已知物体的运动方程为s＝t2＋(t是时间，s是位移)，则物体在时刻t＝2时的速度为( )
A. B.
C. D.
解析：选D ∵s′＝2t－，∴s′|t＝2＝4－＝.
3． (2012·哈尔滨模拟)已知a为实数，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－2)x的导函数f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为( )
A．y＝－3x B．y＝－2x
C．y＝3x D．y＝2x
解析：选B ∵f(x)＝x3＋ax2＋(a－2)x，
∴f′(x)＝3x2＋2ax＋a－2.
∵f′(x)为偶函数，∴a＝0.
∴f′(x)＝3x2－2.∴f′(0)＝－2.
∴曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为y＝－2x.
4．设曲线y＝在点处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，则实数a等于( )
A．－1 B.
C．－2 D．2
解析：选A ∵y′＝＝，∴y′|x＝＝－1.由条件知＝－1，∴a＝－1.
5．若点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为( )
A．1 B.
C. D.
解析：选B 设P(x0，y0)到直线y＝x－2的距离最小，则y′|x＝x0＝2x0－＝1.
得x0＝1或x0＝－(舍)．
∴P点坐标(1,1)．
∴P到直线y＝x－2距离为d＝＝.
6．f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)，g(x)满足f′(x)＝g′(x)，则f(x)与g(x)满足( )
A．f(x)＝g(x) B．f(x)＝g(x)＝0
C．f(x)－g(x)为常数函数 D．f(x)＋g(x)为常数函数
解析：选C 由f′(x)＝g′(x)，得f′(x)－g′(x)＝0，
即[f(x)－g(x)]′＝0，所以f(x)－g(x)＝C(C为常数)．
7．(2013·郑州模拟)已知函数f(x)＝ln x－f′(－1)x2＋3x－4，则f′(1)＝________.
解析：∵f′(x)＝－2f′(－1)x＋3，
f′(－1)＝－1＋2f′(－1)＋3，
∴f′(－1)＝－2，∴f′(1)＝1＋4＋3＝8.
答案：8
8．(2012·辽宁高考)已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为________．
解析：易知抛物线y＝x2上的点P(4,8)，Q(－2,2)，且y′＝x，则过点P的切线方程为y＝4x－8，过点Q的切线方程为y＝－2x－2，联立两个方程解得交点A(1，－4)，所以点A的纵坐标是－4.
答案：－4
9．(2012·黑龙江哈尔滨二模)已知函数f(x)＝x－sin x－cos x的图象在点A(x0，y0)处的切线斜率为1，则tan x0＝________.
解析：由f(x)＝x－sin x－cos x得f′(x)＝－cos x＋sin x，
则k＝f′(x0)＝－cos x0＋sin x0＝1，
即sin x0－cos x0＝1，即sin＝1.
所以x0－＝2kπ＋，k∈Z，解得x0＝2kπ＋，k∈Z.
故tan x0＝tan＝tan＝－.
答案：－
10．求下列函数的导数．
(1)y＝x·tan x；
(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；
解：(1)y′＝(x·tan x)′＝x′tan x＋x(tan x)′
＝tan x＋x·′＝tan x＋x·
＝tan x＋.
(2)y′＝(x＋1)′(x＋2)(x＋3)＋(x＋1)[(x＋2)(x＋3)]′＝(x＋2)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＋(x＋1)(x＋3)＝3x2＋12x＋11.
11．已知函数f(x)＝x－，g(x)＝a(2－ln x)(a>0)．若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率相同，求a的值，并判断两条切线是否为同一条直线．
解：根据题意有
曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为f′(1)＝3，
曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率为g′(1)＝－a.
所以f′(1)＝g′(1)，即a＝－3.
曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－f(1)＝3(x－1)，
得：y＋1＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－4＝0.
曲线y＝g(x)在x＝1处的切线方程为y－g(1)＝3(x－1)．
得y＋6＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－9＝0，
所以，两条切线不是同一条直线．
12．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1，当曲线y＝f(x)斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行时，求a的值．
解：f′(x)＝3x2＋2ax－9＝32－9－，即当x＝－时，函数f′(x)取得最小值－9－，因斜率最小的切线与12x＋y＝6平行，
即该切线的斜率为－12，所以－9－＝－12，
即a2＝9，即a＝±3.
1．(2012·商丘二模)等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，f′(x)为函数f(x)的导函数，则f′(0)＝( )
A．0 B．26
C．29 D．212
解析：选D ∵f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，
∴f′(x)＝x′(x－a1)…(x－a8)＋x[(x－a1)…(x－a8)]′
＝(x－a1)…(x－a8)＋x[(x－a1)…(x－a8)]′，
∴f′(0)＝(－a1)·(－a2)·…·(－a8)＋0＝a1·a2·…·a8＝(a1·a8)4＝(2×4)4＝(23)4＝212.
2．已知f1(x)＝sin x＋cos x，记f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)(n∈N*，n≥2)，则f1＋f2＋…＋f2 012＝________.
解析：f2(x)＝f1′(x)＝cos x－sin x，
f3(x)＝(cos x－sin x)′＝－sin x－cos x，
f4(x)＝－cos x＋sin x，f5(x)＝sin x＋cos x，
以此类推，可得出fn(x)＝fn＋4(x)，
又∵f1(x)＋f2(x)＋f3(x)＋f4(x)＝0，
∴f1＋f2＋…＋f2 012＝503f1＋f2＋f3＋f4＝0.
答案：0
3．已知函数f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P作直线l，根据以下条件求l的方程．
(1)直线l和y＝f(x)相切且以P为切点；
(2)直线l和y＝f(x)相切且切点异于P.
解：(1)由f(x)＝x3－3x得f′(x)＝3x2－3，过点P且以P(1，－2)为切点的直线的斜率f′(1)＝0，
故所求的直线方程为y＝－2.
(2)设过P(1，－2)的直线l与y＝f(x)切于另一点(x0，y0)，则f′(x0)＝3x－3.
又直线过(x0，y0)，P(1，－2)，
故其斜率可表示为＝，
所以＝3x－3，
即x－3x0＋2＝3(x－1)(x0－1)．
解得x0＝1(舍去)或x0＝－，
故所求直线的斜率为k＝3＝－.
所以l的方程为y－(－2)＝－(x－1)，
即9x＋4y－1＝0.
设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，当x＝2时，y＝.又f′(x)＝a＋，则解得故f(x)＝x－.
(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝·(x－x0)，即y－＝(x－x0)．
令x＝0得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.
令y＝x得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|2x0|＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.
【点此下载】