不等式的解法举例
不等式渗透在中学数学各个分支中，应用范围十分广泛，诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明.
涉及不等式的内容的考题大致可分为以下几种类型：①解不等式； ②证明不等式； ③取值范围问题； ④应用问题.
试题主要有如下特点：
（1）突出重点，综合考查.试题中不等式常与函数、数列、解析几何、三角等进行综合.
（2）解含参数的不等式能较好地体现等价转化、分类整合、数形结合等数学思想.
（3）除单独考查不等式的试题外，常在一些函数、数列、立体几何、解析几何等试题中涉及不等式的知识，加强了不等式作为一种工具作用的考查.
1.不等式的解法
不等式的解法，要加强等价转化思想的训练与复习.，通过等价转化可简化不等式(组)，以快速、准确求解.
(1)解一元一次不等式（组）及一元二次不等式（组）是解其他各类不等式的基础. 简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：①分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；②将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；③根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集。
(2)解高次不等式、分式不等式，分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。首先使不等式一边是零，一边是一次因式（一次项系数为正）或二次不完全平方式的积与商的形式（注意二次因式恒正恒负的情况），然后用数轴标根法写出解集（尤其要注意不等号中带等号的情形）.
(3)解绝对值不等式的常用方法：
1）绝对值不等式的解法：
①分段讨论法（最后结果应取各段的并集）：如解不等式（答：）；
②利用绝对值的定义；
③数形结合；如解不等式（答：）
④两边平方：如若不等式对恒成立，则实数的取值范围为______。（答：）
含绝对值不等式的性质：
同号或有；
异号或有.
2）含参不等式的解法：
①讨论法：讨论绝对值中的式子大于零还是小于零，然后去掉绝对值符号，转化为一般不等式.
②等价变形：解绝对值不等式常用以下等价变形
｜x｜＜a x2＜a2 －a＜x＜a(a＞0)
｜x｜＞a x2＞a2 x＞a或x＜－a(a＞0)
一般地有：｜f(x)｜＜g(x) －g(x)＜f(x)＜g(x)
｜f(x)｜＞g(x) f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)
求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集. 提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。对于解含参数不等式，要充分利用不等式性质.对参数的讨论，要不“重复”不“遗漏”.一要考虑参数总的取值范围,二要用同一标准对参数进行划分，三要使得划分后，不等式的解集的表达式是确定的.
⑷不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）
①恒成立问题
若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上
若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上
② 能成立问题
若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上；
若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上的.
③恰成立问题
若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为.
2.掌握算术平均数与几何平均数定理
［定理］如果a,b∈R,那么a2＋b2≥2ab（当且仅当a=b时，取“=”）.
［定理］ 如果a,b是正数，那么 (当且仅当a=b时，取“=”)
(1)二元均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能.
(2)创设应用均值不等式的条件、合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的成因在于使等号能够成立.
(3)“和定积最大，积定和最小”，即2个正数的和为定值，则可求其积的最大值；积为定值，则可求其和的最小值.应用此结论求值要注意三个条件：
①各项或因式非负；
②和或积为定值；
③各项或各因式都能取得相等的值.必要时要作适当的变形，以满足上述前提. “一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针
3.不等式证明
(1)证明不等式的常用方法有：比较法、综合法、分析法和数学归纳法.其他方法如：放缩法、反证法、换元法、判别式法证明不作过高要求. 不等式的性质：①同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若，则（若，则），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；②左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若，则（若，则）； ③左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若，则或；
④若，，则；若，，则。
(2)比较法有求差比较法和求商比较法两种模式.求差比较法中的变形可以变成平方和、常数、因式的积；求商比较法要注意对分母的符号进行讨论.比较法在符号确定的前提下，可以转化为乘方问题来解决：如果a，b＞0,则a2＞b2 a＞b. ①作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；②作商（常用于分数指数幂的代数式）；③分析法；④平方法；⑤分子（或分母）有理化；⑥利用函数的单调性；⑦寻找中间量或放缩法；常用的放缩技巧有：⑧图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。
(3)利用综合法、分析法证明不等式经常使用的基本不等式有：
①a2≥0,a∈R;
②a2＋b2≥2ab,a,b∈R;
③ , a,b∈R＋;
④a＋b＋c≥3 ,a,b,c∈R＋;
利用基本不等式的变式：
①
② ,(其中a,b∈R＋).
③a、b、cR，（当且仅当时，取等号）；
? ④若，则（糖水的浓度问题）。
分析法是从要证的结论入手，寻找其充分条件，即执果索因；综合法为分析法的逆过程，即由因导果；复杂的不等式证明要注意几种方法
的结合使用.
(4)涉及到数列或与自然数有关的不等式可考虑数学归纳法的运用,涉及到函数的不等式可考虑构造函数,应用导数来解决.
1，不等式的解集是 （ A ）
A． B．
C． D．
2，若是等差数列，首项，则使前n项和成立的最大自然数n是： （ B ）
A．4005 B．4006 C．4007 D．4008
3，的最小值为
（ B ）
A．－ B．－ C．－－ D．+
4，不等式的解集为 （ A ）
A． B．
C． D．
5，设函数 ，则使得的自变量的取值范围为 （ A ）
A． B．
C． D．
6，不等式的解集为 （ D ）
A． B． C． D．
7，不等式|x+2|≥|x|的解集是 {x|x≥－1} .
8，设，函数，则使的的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
9，若正整数m满足，则m = 。
10，已知集合则为
(A) (B)
(C) (D)
11，已知集合M={x∣-3x -28 ≤0},N = {x|-x-6>0}，则M∩N 为
（A）{x|- 4≤x< -2或3 3 } （D）{x|x<- 2或x≥3}
12，设，则 ( )
（A）-20的解集为（C）
(A)( -2, 1) (B) ( 2, +∞)
(C) ( -2, 1)∪ ( 2, +∞) (D) ( -∞, -2)∪ ( 1, +∞)
24命题“若，则”的逆否命题是（ ）
A．若，则或 B.若，则
C.若或，则 D.若或，则
25若函数f(x) = 的定义域为R，则a的取值范围为_______.
26某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确提财投资后，在两个项目上共可获得的最大利润为
A.36万元 B.31.2万元 C.30.4万元 D.24万元
B
27已知，，，为实数，且＞.则“＞”是“－＞－”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
【解析】显然，充分性不成立.又，若－＞－和＞都成立，则同向不等式相加得＞
即由“－＞－”“＞”
28某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元。该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是
A. 12万元 B. 20万元 C. 25万元 D. 27万元
【答案】D
【解析】设生产甲产品吨，生产乙产品吨，则有关系：
A原料
B原料
甲产品吨
3
2
乙产品吨
3
则有：
目标函数
作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知：
当＝3，＝5时可获得最大利润为27万元，故选D
29不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
C． D．
【答案】A
【解析】因为对任意x恒成立，所以
30已知，则的最小值是（ ）
A．2 B． C．4 D．5
【答案】C
解析因为当且仅当，且，即时，取“=”号。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
31设变量满足约束条件则的最大值为
（A）0 （B）2
（C）4 （D）6
解析：不等式组表示的平面区域如图所示，
当直线过点B时，在y轴上截距最小，z最大
由B（2,2）知4
32已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是
A. 3 B. 4 C. D.
解析：考察均值不等式
，整理得
即，又，
33设变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为
A.—2 B. 4 C. 6 D. 8
解析：不等式组表示的平面区域如图所示
当直线过点B（3,0）的时候，z取得最大值6
34设，则的最
小值是
（A）2 （B）4 （C） （D）5
解析：
＝
＝
≥0＋2＋2＝4
当且仅当a－5c＝0,ab＝1,a(a－b)＝1时等号成立
如取a＝,b＝,c＝满足条件.
答案：B
35某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为
（A）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱
（B）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱
（C）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱
（D）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱
解析：设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱
则
目标函数z＝280x＋300y
结合图象可得：当x＝15,y＝55时z最大
本题也可以将答案逐项代入检验.
答案：B
36设实数x,y满足3≤≤8，4≤≤9，则的最大值是 。。
[解析] 考查不等式的基本性质，等价转化思想。
，，，的最大值是27。
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