不等式的证明
证明不等式的主要方法是：
一、基本方法：比较法，综合法，分析法
二、其他方法：反证法，放所法，判别式，换元法，函数法，导数法，参数法，构造法，数学归纳法.
一 比较法（比差法，比商法）
1.设，求证：
证明：左-右=
2.已知，，求证：
证明：法一：时
时
时
法二：
3.，，求证：
证明：
4.已知，求证：
证明：
二 综合法
5.设，求证：
证明：法一：
法二：
+〕————————————————
法三：
6.已知，求证：
证明：
同理：
+〕————————————————————
7.设,求证：
证明：
+〕——————————
8.设，求证：
证明：法一：
即
同理：
+〕------------------------------------------
法二：
法三：
9.设，求证：
证明：左
10.设实数满足,,求证：
证明： ①
②
①“=”成立
②“=”成立 此时
∴①②“=”不同时成立
∴
三、分析法
11.已知，求证：
证明：
12.设,,求证：
证明：
成立
13.已知，且，求证：
1）
2）
证明：1） ④
③
②
①
成立
∴①②③④ 即
2）
∵
∴原不等式等价于证明 成立
只需证
∵
∴
14.已知 ，求证：
证明：
四、反证法
15.已知，，，求证：，，中至少有一个小于等于.
证明：假设 则有
〔＊〕
又∵
与〔＊〕矛盾
16.设都是小于1的正数，求证：
这四个数不可能都大于1.
证明：同15题
17.设，求证：
证明：假设
与矛盾
∴
18.设，，求证：
证明：假设 则
而与矛盾.
∴
五、放缩法
19.，求证：
证明：
+〕——————————————
20.设，，求证：
证明：
21.求证：
证明： ①
②
③
①②③得
22.设，求证：
证明：
六 换元法
23.已知，求证：
证明：，设
24.已知，求证：
证明： 令
25.已知，，求证：
证明：
26.求证：
证明：设
27.已知，且，求证：
证明：设
∴
28.设，且，求证：
证明：设
29.已知，求证：
证明：令
+〕
原不等式
法一：
法二：
30.已知，且，求证：
证明：∵
∴
设
解得
∴
31.，求证：
证明：令
左
七、函数法
32.设，，求证：
证明：令
∴
33.求证
证明：令
34.，求证：
证明：令
当时，在上是增函数
当时，在上是减函数
当时，
35.设，且，求证：
证明：
36.设，对任意的正整数，求证：
证明：
37.已知，求证：
证明：
八、参数法
38.已知，，
求证：
证明：
+〕————————————————
∴
∴
39.设，且，求证：
证明：
即
+〕————————————————
“=”
40 设，求证：
证明：
即
+〕 ﹙＊﹚
代入﹙＊﹚得
41 设，求证：.
证明：
+〕
令 得
∴
42 设 且，求证：
证明：
+〕
∵
∴ 只要令 即
若均为锐角，且满足，求证：
证明：令 ，则
左
左
令 得
九 导数法
44 已知为正整数
（1）设，证明：
（2）设，对任意，证明：证明：（1）
（2）
∴
当时，
∴ 当时，在上为增函数
∴ 当时
∴
即当时，
45 设是函数的两个极值点，且，
（1）证明：
（2）证明：
（3）若函数，证明：当，且时，
证明：（1）
的两根为
即
（2）
时 为增函数
时 为减函数
∴
∴
（3）
46 已知函数
求函数的最大值.
设，证明.
证明：（1）函数的定义域为
令得
当 时，
当时，
∴
（2）
由⑴知
得
∴
∴
又
∴
47 设函数
（1）证明
（2）设为的一个极值，证明：
（3）设在内的全部极值点按从小到大的顺序排列为
证明：
证明：（1）
（2）
知
∴
又
∴
设是的任意正实数根.即
则存在一个非负整数，使 即在第Ⅱ或第Ⅳ象限.
x
的符号
K为奇数
– 0 +
K为偶数
+ 0 –
∴ 满足的正根都为的极值点
由题设条件为方程的全部正实根且满足
∵
∴
∴
又∵
∴ 在第Ⅱ象限即
综上
已知函数在开区间内是增函数
求实数a的取值范围.
若数列满足
证明：.
解：（1） 在上为增函数
∴ 在上恒成立
∴
∵ ∴
∴ ∴ ∴
（2）当时，
设时，
当时，
记
当时 在上为增函数
又∵
∴
∴ ∴
综上
即 ∴
十 构造法
49 已知 ，
求证
证明：设
左=
其中为以1为边长的正方形OBCA 内任一点
图像没有画
50 已知，求证
证明：
构造一个三棱锥A-BCD，使
图像没有画
在中，BC+CD>BD
51 求证
证明：
∴ 是方程的两个实数根
又 ，故该方程有两个大于c的不等实根
设
解得
52 设，且， 求证.
证明：构造辅助命题：若则
令
∵
∴ 左边
53 求证：
证明：
∵
∴在上为增函数
∴
54 已知 为实数，求证
证明：
55 已知，求证：
证明：
56 求证：
证明: 设
十一 数学归纳法
57 已知正项数列{}满足 求证：
证明：①当时，
②设时，不等式成立有 ；那么当时，
即 时，命题正确
∴ 由①②得
58 设且，求证：
证明：①当时，左右
当时，
∴当时 命题成立
②设时命题成立 有
当时，不失一般性，设
即
∴
∵
∴
∴
即时，命题成立.
59 数列{}由下列条件决定：
证明：对 总有
证明：对 总有
证明：（1）先证
①当时，有
②设时，有 当时，成立 由①②得
∴ 对 总有
（2）
∴ 对 总有
60 数列满足
（1）用数学归纳法证明
（2）已知不等式对成立.证明：
证明：（1）
当时，不等式成立
设时，不等式成立 有
不等式成立
由①②得 时
（2）
即 ∴
61 设函数
（1）求的最小值
（2） 设正数满足证明：
.
证明：（1）
令 得
当时，，此时为减函数
当时，，此时为增函数
∴
（2）法一：用数学归纳法证明
①当n=1时，由（1）知命题成立
②设n=k时命题成立，有
当n=k+1时，时，满足
令则有
由归纳假设知
①
同理：
②
①+②得：
即 n=k+1时命题成立
法二：先证不等式：
构造函数 （常数）
由（1）知：当 即时，
∴ 对都有
下面用数学归纳法证明命题成立
当n=1时，命题成立
设n=k时，命题成立.即若正数 满足
有
当n=k+1时
令
∵
由归纳假设得：
∴
即 n=k+1时命题成立.
附录 △中的不等式
设的三边为，求证：
证明：
的三边为，求证：
证明：
的三边为，求证：
证明：
在锐角中，求证
证明：
在中，已知的面积为，外接圆半径为，三边长为求证
证明：
又
即
同理：
∴
“=” 若
矛盾
∴ 等式不成立 ∴
已知的三边长为的三边为，面积为 求证：
证明：
①
+）
①成立
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