导数的概念
?[教学目的]
1.了解导数形成的背景、思想和方法;正确理解导数的定义、几何意义;
2.使学生在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率,建立导数的概念;掌握用导数的定义求导数的一般方法
3.在教师指导下,让学生积极主动地探索导数概念的形成过程,锻炼运用分析、抽象、归纳、总结形成数学概念的能力,体会数学知识在现实生活中的广泛应用。
[教学重点和难点]导数的概念是本节的重点和难点
[教学方法]讲授启发,自学演练。
[授课类型]:新授课
[课时安排]:1课时
[教 具]:多媒体、实物投影仪
[教学过程]
一、复习提问(导数定义的引入)
1.什么叫瞬时速度?(非匀速直线运动的物体在某一时刻t0的速度)
2.怎样求非匀速直线运动在某一时刻t0的速度?
在高台跳水运动中,如果我们知道运动员相对于水面的高度(单位:)与起跳后的时间(单位:)存在关系,那么我们就会计算任意一段的平均速度,通过平均速度来描述其运动状态,但用平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度,那么如何求运动员的瞬时速度呢?问题:2秒时的瞬时速度是多少?
(2)新课
我们现在会算任意一段的平均速度,先来观察一下2秒附近的情况。先计算2秒之前的时间段内的平均速度,请同学们完成表格1左边部分,(事先准备好的),再完成表格的右边部分〉
表格1
表格2
时,在这段时间内
时,在这段时间内
当0.01时,13.051;
当0.01时,13.149;
当0.001时,13.095 1;
当0.001时,13.104 9;
当0.000 1时,13.099 51;
当0.000 1时,13.100 49;
当0.000 01时,13.099 951;
当0.000 01时,13.100 049;
当0.000 001时,13.099 995 1;
当0.000 001时,13.100 004 9;
。。。。。。
。。。。。。
问题:1你能描述一下你算得的这些数据的变化规律吗?(表格2)
关于这些数据,下面的判断对吗?
2.当趋近于0时,即无论从小于2的一边,还是从大于2的一边趋近于2时,平均速度都趋近于一个确定的值-13.1。
靠近-13.1且比-13.1大的任何一个数都可以是某一段上的平均速度;
靠近-13.1且比-13.1小的任何一个数都可以是某一段上的平均速度;
-13.1表示在2秒附近,运动员的速度大约是-13.1。
分析:秒时有一个确定的速度,2秒附近的任何一段上的平均速度都不等于瞬时速度,所以比-13.1大的数作为2秒的瞬时速度不合理,比-13.1小的数作为2秒的瞬时速度也不合理,因此,运动员在2秒时的瞬时速度是-13.1。
这样,我们就得到了2秒时的瞬时速度是-13.1,现在我们一起回忆一下是如何得到的:
首先,算出上的平均速度=,接着观察当趋近于0时,上式趋近于一个确定的值-13.1,这个值就是运动员在2秒时的瞬时速度。为了表述方便,我们用
表示“当,趋近于0时,平均速度趋近于确定值-13.1”。
思考:当趋近于0时,平均速度有什么样的变化趋势?
结论:当趋近于0时,即无论从小于2的一边,还是从大于2的一边趋近于2时,平均速度都趋近于一个确定的值.
从物理的角度看,时间间隔无限变小时,平均速度就无限趋近于史的瞬时速度,因此,运动员在时的瞬时速度是
为了表述方便,我们用
表示“当,趋近于0时,平均速度趋近于定值”
小结:局部以匀速代替变速,以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极限,从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。
3.函数在处的瞬时变化率如何表示?
导数的定义(板书)
函数在处的瞬时变化率是,
我们称它为函数在处的导数,记作或,
即=。例如:2秒时的瞬时速度可以表示为或。
附注:①导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率;
②定义的变化形式:=;
=;=;
,当时,,所以
③求函数在处的导数步骤:“一差;二比;三极限”。
三.典例分析
例1.(1)求函数y=3x2在x=1处的导数.
分析:先求Δf=Δy=f(1+Δx)-f(1)=6Δx+(Δx)2, 再求再求
解:法一(略); 法二:
(2)求函数f(x)=在附近的平均变化率,并求出在该点处的导数.
解:
例2.(课本例1)将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,如果第时,原油的温度(单位:)为,计算第时和第时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
解:在第时和第时,原油温度的瞬时变化率就是和
根据导数定义,
所以;同理可得:
在第时和第时,原油温度的瞬时变化率分别为和5,说明在附近,原油温度大约以的速率下降,在第附近,原油温度大约以的速率上升.
注:一般地,反映了原油温度在时刻附近的变化情况.
17世纪,力学、航海、天文等方面取得了突飞猛进的发展,这些发展对数学提出了新的要求,它们突出地表现为四类问题,其中的两类问题直接导致了导数的产生:一是根据物体的路程关于时间的函数求速度和加速度;二是求已知曲线的切线。
由导数的定义,我们知道,高度关于时间的导数是运动员的瞬时速度;气球半径关于体积的导数就是气球的瞬时膨胀率。
实际上,导数可以描述任何事物的瞬时变化率,如效率、点密度、国内生产总值GDP 的增长率等等。下面我们来看一个导数的应用。
四.课堂练习
1.质点运动规律为,求质点在的瞬时速度为.
2.求曲线y=f(x)=x3在时的导数.
3.例2中,计算第时和第时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
五、小结
1.导数的产生是由于17世纪力学、天文学等的飞速发展,对数学提出的要求,主要是两类问题:一是根据物体的路程关于时间的函数求速度和加速度;二是求已知曲线的切线;
2.导数就是瞬时变化率;
3.导数的计算公式:=。
4. 求函数在处的导数步骤:“一差;二比;三极限”
六、布置作业
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