第十三节导数的应用(二)
利用导数研究恒成立问题及参数求解
典题导入
[例1] 已知函数f(x)＝x2ln x－a(x2－1)，a∈R.
(1)当a＝－1时，求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若当x≥1时，f(x)≥0成立，求a的取值范围．
[自主解答] (1)当a＝－1时，f(x)＝x2ln x＋x2－1，
f′(x)＝2xln x＋3x.
则曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为f′(1)＝3，又f(1)＝0，所以切线方程为3x－y－3＝0.
(2)f′(x)＝2xln x＋(1－2a)x＝x(2ln x＋1－2a)，其中x≥1.
当a≤时，因为x≥1，所以f′(x)≥0，所以函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，故f(x)≥f(1)＝0.
当a>时，令f′(x)＝0，得x＝ea－.
若x∈[1，ea－)，则f′(x)<0，所以函数f(x)在[1，ea－)上单调递减．所以当x∈[1，ea－)时，f(x)≤f(1)＝0，不符合题意．
综上a的取值范围是.
由题悟法
利用导数解决参数问题主要涉及以下方面：
(1)已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：一般先分离参数，再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解．
(2)已知函数的单调性求参数的取值范围：转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立的问题．
(3)已知函数的零点个数求参数的取值范围：利用函数的单调性、极值画出函数的大致图象，数形结合求解．
以题试法
1．设函数f(x)＝x2＋ex－xex.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若当x∈[－2,2]时，不等式f(x)>m恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，
∵f′(x)＝x＋ex－(ex＋xex)＝x(1－ex)，
若x＝0，则f′(x)＝0；
若x<0，则1－ex>0，所以f′(x)<0；
若x>0，则1－ex<0，所以f′(x)<0.
∴f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，
即f(x)的单调减区间为(－∞，＋∞)．
(2)由(1)知，f(x)在[－2,2]上单调递减．
故[f(x)]min＝f(2)＝2－e2，
∴m<2－e2时，不等式f(x)>m恒成立．
故m的取值范围为(－∞，2－e2)．
利用导数证明不等式问题
典题导入
[例2] 已知f(x)＝ax－ln x，x∈(0，e]，g(x)＝，其中e是自然常数，a∈R.
(1)讨论a＝1时，函数f(x)的单调性和极值；
(2)求证：在(1)的条件下，f(x)>g(x)＋.
[自主解答] (1)∵f(x)＝x－ln x，
f′(x)＝1－＝，
∴当00，此时f(x)单调递增．
∴f(x)的极小值为f(1)＝1.
(2)证明：由(1)知[f(x)]min＝1.又g′(x)＝，
∴当00，g(x)在(0，e]上单调递增．
∴[g(x)]max＝g(e)＝<.
∴[f(x)]min－[g(x)]max>.
∴在(1)的条件下，f(x)>g(x)＋.
在本例条件下，是否存在正实数a，使f(x)的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
解：假设存在正实数a，使f(x)＝ax－ln x(x∈(0，e])有最小值3.因为f′(x)＝a－＝，
当0<g(x)在区间D上恒成立的基本方法是构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，然后根据函数的单调性，确定函数的最值证明h(x)>0.
以题试法
2．已知f(x)＝xln x.
(1)求g(x)＝(k∈R)的单调区间；
(2)证明：当x≥1时，2x－e≤f(x)恒成立．
解：(1)g(x)＝ln x＋，
∴令g′(x)＝＝0得x＝k.
∵x>0，∴当k≤0时，g′(x)>0.
∴函数g(x)的增区间为(0，＋∞)，无减区间；
当k>0时g′(x)>0得x>k；g′(x)<0得00，当200，
当80)，则获得最大利润时的年产量为( )
A．1百万件 B．2百万件
C．3百万件 D．4百万件
解析：选C 依题意得，y′＝－3x2＋27＝－3(x－3)(x＋3)，当00；当x>3时，y′<0.因此，当x＝3时，该商品的年利润最大．
3．已知函数f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f′(x)>0，若f(－1)＝0，那么关于x的不等式xf(x)<0的解集是________．
解析：在(0，＋∞)上有f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)单调递增．又函数f(x)是R上的偶函数，所以f(1)＝f(－1)＝0.当x>0时，f(x)<0，∴00，∴x<－1.
答案：(－∞，－1)∪(0,1)
4．直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是________．
解析：令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，可得极大值为f(－1)＝2，极小值为f(1)＝－2，如图，观察得－21时，判断f(x)在[0,2m]上零点的个数，并说明理由．
解：(1)依题意，可知f(x)在R上连续，且f′(x)＝ex－m－1，
令f′(x)＝0，得x＝m.
故当x∈(－∞，m)时，ex－m<1，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(m，＋∞)时，ex－m>1，f′(x)>0，f(x)单调递增；
故当x＝m时，f(m)为极小值，也是最小值．
令f(m)＝1－m≥0，得m≤1，
即对任意x∈R，f(x)≥0恒成立时，m的取值范围是(－∞，1]．
(2)由(1)知f(x)在[0,2m]上至多有两个零点，当m>1时，f(m)＝1－m<0.
∵f(0)＝e－m>0，f(0)·f(m)<0，
∴f(x)在(0，m)上有一个零点．
又f(2m)＝em－2m，令g(m)＝em－2m，
∵当m>1时，g′(m)＝em－2>0，
∴g(m)在(1，＋∞)上单调递增．
∴g(m)>g(1)＝e－2>0，即f(2m)>0.
∴f(m)·f(2m)<0，∴f(x)在(m,2m)上有一个零点．
故f(x)在[0,2m]上有两个零点．
7．(2013·泰安模拟)某种产品每件成本为6元，每件售价为x元(60；
当x∈(9,11)时，y′<0.
∴函数y＝－2x3＋33x2－108x－108在(6,9)上是递增的，在(9,11)上是递减的．
∴当x＝9时，y取最大值，且ymax＝135，
∴售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元．
1．(2012·潍坊模拟)已知函数f(x)＝(x2－3x＋3)ex，x∈[－2，t](t>－2)．
(1)当t<1时，求函数y＝f(x)的单调区间；
(2)设f(－2)＝m，f(t)＝n，求证：m0，f(x)单调递增，
当x∈(0，t]时，f′(x)<0，f(x)单调递减．
综上，当－2－2，
h′(t)＝(2t－3)et＋et(t2－3t＋3)＝ett(t－1)(t>－2)．
故h(t)，h′(t)随t的变化情况如下表：
t
(－2,0)
0
(0,1)
1
(1，＋∞)
h′(t)
＋
0
－
0
＋
h(t)
极大值
极小值
由上表可知h(t)的极小值为h(1)＝e－＝>0，又h(－2)＝0，故当－2h(－2)＝0，即h(t)>0，
因此，n－m>0，即m0，得x<－1或x>1；
由f′(x)<0，得－13.
故实数k的取值范围是(3，＋∞)．
1．已知向量m＝(x0，－1)，n＝，x0，，y0成等差数列，2，，y0成等比数列．
(1)求证：m⊥n；
(2)若存在不为零的实数k与t，使得a＝(t2－3)m＋n，b＝tm－kn，且a⊥b，|a|≤，试讨论函数k＝f(t)的单调性，并求出函数的极值．
解：(1)证明：由x0，，y0成等差数列得x0＋y0＝，①
由2，，y0成等比数列得x0＝2y0，②
由①与②可得x0＝，y0＝，
所以m＝(，－1)，n＝，
因为m·n＝(，－1)·＝－＝0，
所以m⊥n.
(2)由(1)得|m|＝2，|n|＝1，
因为|a|≤，m⊥n，所以|a|2＝(t2－3)2|m|2＋2(t2－3)m·n＋|n|2＝4(t2－3)2＋1≤37，
所以0≤t2≤6，所以－≤t≤.
又a·b＝t(t2－3)|m|2－k(t2－3)m·n＋tm·n－k|n|2＝4t(t2－3)－k＝0，
所以k＝f(t)＝4t(t2－3)(－≤t≤)，k′＝f′(t)＝[4t(t2－3)]′＝12t2－12，令12t2－12＝0，得t＝±1.
当t变化时，f′(t)，f(t)的变化情况如下表：
t
(－，－1)
－1
(－1,1)
1
(1，)
f′(t)
＋
0
－
0
＋
f(t)
极大值8
极小值－8
因此f(t)的单调递增区间为(－，－1)，(1，)；f(x)的单调递减区间为(－1,1)．f(t)的极大值为8，极小值为－8.
2．设函数f(x)＝ln x－p(x－1)，p∈R.
(1)当p＝1时，求函数f(x)的单调区间；
(2)设函数g(x)＝xf(x)＋p(2x2－x－1)，对任意x≥1都有g(x)≤0成立，求p的取值范围．
解：(1)当p＝1时，f(x)＝ln x－x＋1，其定义域为(0，＋∞)．
所以f′(x)＝－1.
由f′(x)＝－1>0得01.
所以函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．
(2)由函数g(x)＝xf(x)＋p(2x2－x－1)＝xln x＋p(x2－1)(x>0)，得g′(x)＝ln x＋1＋2px.
由(1)知，当p＝1时，f(x)≤f(1)＝0，
即不等式ln x≤x－1成立．
①当p≤－时，g′(x)＝ln x＋1＋2px≤(x－1)＋1＋2px＝(1＋2p)x≤0，
即函数g(x)在[1，＋∞)上单调递减，从而g(x)≤g(1)＝0，满足题意；
②当－0，1＋2px>0，
从而g′(x)＝ln x＋1＋2px>0，即函数g(x)在上单调递增，从而存在x0∈使得g(x0)>g(1)＝0，不满足题意；
③当p≥0时，由x≥1知g(x)＝xln x＋p(x2－1)≥0恒成立，此时不满足题意．
综上所述，实数p的取值范围为.
集合与常用逻辑用语 函数、导数及其应用
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)
1．(2012·广州调研)已知函数f(x)＝若f(1)＝f(－1)，则实数a的值等于( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 根据题意，由f(1)＝f(－1)可得a＝1－(－1)＝2.
2．(2012·江西高考)若全集U＝，则集合A＝的补集?UA为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 因为U＝{x∈R|x2≤4}＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R||x＋1|≤1}＝{x∈R|－2≤x≤0}．借助数轴易得?UA＝{x∈R|0c
C．ab>c
解析：选B ∵a＝log23＋log2＝log23，b＝log29－log2＝log23，
∴a＝b.
又∵函数y＝logax(a>1)为增函数，
∴a＝log23>log22＝1，c＝log32c.
8．(2012·南昌一模)函数y＝x－1的图象关于x轴对称的图象大致是( )
解析：选B 函数y＝x＝，该函数的图象就是抛物线y2＝x在x轴及其以上的部分，故函数y＝x－1＝－1是将上述图象向下平移一个单位得到的，再作其关于x轴对称的图象，即选项B中的图象．
9．(2012·长春第二次调研)若a>2，则函数f(x)＝x3－ax2＋1在(0,2)内零点的个数为( )
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：选C 依题意得f′(x)＝x2－2ax，由a>2可知，f′(x)在x∈(0,2)时恒为负，即f(x)在(0,2)内单调递减，又f(0)＝1>0，f(2)＝－4a＋1<0，因此f(x)在(0,2)内只有一个零点．
10．(2012·河南三市第二次调研)设U为全集，对集合X，Y，定义运算“*”，X*Y＝?U(X∩Y)．对于任意集合X，Y，Z，则(X*Y)*Z＝( )
A．(X∪Y)∩?UZ B．(X∩Y)∪?UZ
C．(?UX∪?UY)∩Z D．(?UX∩?UY)∪Z
解析：选B 依题意得(X*Y)＝?U(X∩Y)＝(?UX)∪(?UY)，(X*Y)*Z＝?U[(X*Y)∩Z]＝?U[?U(X∩Y)∩Z]＝{?U[?U(X∩Y)]}∪(?UZ)＝(X∩Y)∪(?UZ)．
11．(2012·重庆高考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的( )
A．既不充分也不必要的条件 B．充分而不必要的条件
C．必要而不充分的条件 D．充要条件
解析：选D 由题意可知函数在[0,1]上是增函数，在[－1,0]上是减函数，在[3,4]上也是减函数；反之也成立．
12．下列命题：
①?x∈R，不等式x2＋2x>4x－3均成立；
②若log2x＋logx2≥2，则x>1；
③“若a>b>0且c<0，则>”的逆否命题是真命题；
④若命题p：?x∈R，x2＋1≥1，命题q：?x∈R，x2－x－1≤0，则命题p∧(綈q)是真命题．其中真命题为( )
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
解析：选A 由x2＋2x>4x－3推得x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0恒成立，故①正确；根据基本不等式可知要使不等式log2x＋logx2≥2成立需要x>1，故②正确；由a>b>0得0<<，又c<0，可得>，则可知其逆否命题为真命题，故③正确；命题p是真命题，命题q是真命题，所以p∧(綈q)为假命题，故④不正确．
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．(2013·河北质检)函数y＝log(3x－a)的定义域是，则a＝________.
解析：由3x－a>0得x>.因此，函数y＝log(3x－a)的定义域是，所以＝，即a＝2.
答案：2
14． (2012·南通一调)设P是函数y＝(x＋1)图象上异于原点的动点，且该图象在点P处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是________．
解析：依题意得，y＝x＋x，y′＝x＋x－(x>0)，当x>0时，y′＝x＋x－≥2 ＝，即该图象在点P处的切线的斜率不小于，即tan θ≥.又θ∈[0，π)，因此≤θ<，即θ的取值范围是.
答案：
15．(2012·山东高考)若函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________.
解析：函数g(x)在[0，＋∞)上为增函数，则1－4m>0，即m<.若a>1，则函数f(x)在[－1,2]上的最小值为＝m，最大值为a2＝4，解得a＝2，＝m，与m<矛盾；当00，则－x<0，∴f(x)＝x－2，f(－x)＝－x＋2＝－(x－2)，即f(x)＝－f(－x)，
又f(0)＝0，∴f(x)＝是奇函数，∴③不符合条件；对于④，函数f(x)＝x2－x－1＋ln x的定义域为(0，＋∞)，故它既不是奇函数也不是偶函数，∵f′(x)＝2x－1＋＝＝>0，∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(1)＝1－1－1＋0＝－1<0，f(e)＝e2－e－1＋1＝e(e－1)>0，∴函数f(x)在(1，e)上存在零点，∴④符合条件．
答案：②④
三、解答题(本题共6小题，共70分)
17．(本小题满分10分)已知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，试求f(x)在R上的表达式，并画出它的图象，根据图象写出它的单调区间．
解：∵f(x)的图象关于原点对称，
∴f(－x)＝－f(x)，又当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，
∴当x<0时，f(x)＝－x2－2x－3.
当x＝0时，f(x)＝0.
∴函数解析式为f(x)＝
作出函数的图象如图．
根据图象可以得函数的增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)；
函数的减区间为(－1,0)，(0,1)．
18．(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝log3(ax＋b)的部分图象如右图所示．
(1)求f(x)的解析式与定义域；
(2)函数f(x)的图象能否由y＝log3x的图象平移变换得到．
解：(1)由图可知(2,1)(5,2)是f(x)＝log3(ax＋b)上的两点，将其代入函数表达式可得?
∴f(x)的解析式为f(x)＝log3(2x－1)．
∵f(x)有意义需满足2x－1>0，∴x>.
∴f(x)的定义域为.
(2)∵f(x)＝log3(2x－1)＝log3
＝log3＋log32，
∴f(x)的图象是由y＝log3x的图象向右平移个单位，再向上平移log32个单位得到的．
故可以由y＝log3x的图象平移得到．
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x(x2－ax－3)．
(1)若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；
(2)若x＝－是f(x)的极值点，求f(x)在区间[1,4]上的最大值．
解：(1)∵f(x)＝x(x2－ax－3)，∴f′(x)＝3x2－2ax－3.
∵f(x)在[1，＋∞)上是增函数，
∴在[1，＋∞)上恒有f′(x)≥0，
即3x2－2ax－3≥0在[1，＋∞)上恒成立．
得a≤在[1，＋∞)上恒成立．
∵当x≥1时，≥(1－1)＝0，
∴a≤0.
(2)依题意得f′＝0，
即＋a－3＝0，得a＝4，
故f(x)＝x3－4x2－3x.
令f′(x)＝3x2－8x－3＝0，得x1＝－，x2＝3.
当x在[1,4]上变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
1
(1,3)
3
(3,4)
4
f′(x)
－
0
＋
f(x)
－6
－18
－12
所以f(x)在区间[1,4]上的最大值是f(1)＝－6.
20．(本小题满分12分)经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t(天)的函数，且销售量近似地满足f(t)＝－2t＋200(1≤t≤50，t∈N)．前30天价格为g(t)＝t＋30(1≤t≤30，t∈N)，后20天价格为g(t)＝45(31≤t≤50，t∈N)．
(1)写出该种商品的日销售额S与时间t的函数关系；
(2)求日销售额S的最大值．
解：(1)根据题意，得
S＝
＝
(2)①∵当1≤t≤30，t∈N时，S＝－(t－20)2＋6 400，
∴当t＝20时，S的最大值为6 400.
②当31≤t≤50，t∈N时，S＝－90t＋9 000为减函数，
∴当t＝31时，S的最大值为6 210.
∵6 210<6 400，
∴当t＝20时，日销售额S有最大值6 400.
21.已知函数f(x)＝x3＋x2－ax－a，x∈R，其中a>0.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在区间(－2,0)内恰有两个零点，求a的取值范围；
解：(1)f′(x)＝x2＋(1－a)x－a＝(x＋1)(x－a)．
由f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝a>0.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1，a)
a
(a，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值
极小值
故函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－1)，(a，＋∞)；单调递减区间是(－1，a)．
(2)由(1)知f(x)在区间(－2，－1)内单调递增，在区间(－1，0)内单调递减，从而函数f(x)在区间(－2,0)内恰有两个零点即解得00，
∴由f′(x)>0，得03.故函数f(x)的单调递增区间为(0,3)，单调递减区间为(－∞，0)，(3，＋∞)．
(2)由(1)易知函数f(x)在[0,3]上为增函数，在[3,4] 上为减函数．
∴函数f(x)在[0,4]上的最大值f(3)＝，
又∵f(0)＝－a<0，f(4)＝11ae－4>0，
∴f(0)0，∴0
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