一．课题：二次函数
二．教学目标：掌握二次函数的概念、图象及性质；能利用二次函数研究一元二次方程的实根分布条件；能求二次函数的区间最值．
三．教学重点：二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的灵活转化．
四．教学过程：
（一）主要知识：
1．二次函数的解析式的三种形式：一般式，顶点式，两根式．
2．二次函数的图象及性质；
3．二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系．
（二）主要方法：
1．讨论二次函数的区间最值问题：①注意对称轴与区间的相对位置；②函数在此区间上的单调性；
2．讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置．
（三）例题分析：
例1．函数是单调函数的充要条件是 （ ）
分析：对称轴，∵函数是单调函数，∴对称轴在区间
的左边，即，得．
例2．已知二次函数的对称轴为，截轴上的弦长为，且过点，求函数的解析式．
解：∵二次函数的对称轴为，设所求函数为，又∵截轴上的弦长为，∴过点，又过点，
∴， ，
∴．
例3．已知函数的最大值为，求的值 ．
分析：令，问题就转二次函数的区间最值问题．
解：令，，
∴，对称轴为，
（1）当，即时，，得或（舍去）．
（2）当，即时，函数在单调递增，
由，得．
（3）当，即时，函数在单调递减，
由，得（舍去）．
综上可得：的值为或．
例4． 已知函数与非负轴至少有一个交点，求的取值范围．
解法一：由题知关于的方程至少有一个非负实根，设根为
则或，得．
解法二：由题知或，得．
例5．对于函数，若存在，使，则称是的一个不动点，已知函数
，
（1）当时，求函数的不动点；
（2）对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若的图象上两点的横坐标是的不动点，且两点关于直线对称，求的最小值．
解：（1），是的不动点，则，得或，函数的不动点为和．
（2）∵函数恒有两个相异的不动点，∴恒有两个不等的实根，对恒成立，
∴，得的取值范围为．
（3）由得，由题知，，
设中点为，则的横坐标为，∴，
∴，当且仅当，即时等号成立，
∴的最小值为．
（四）巩固练习：
1．若函数的图象关于对称则 6 ．
2．二次函数的二次项系数为负值，且，问与
满足什么关系时，有．
3．取何值时，方程的一根大于，一根小于．
五．课后作业：《高考计划》考点13，智能训练3，5，6，9，10，12，13．
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