一.课题:等差数列与等比数列的基本运算
二.教学目标:掌握等差数列和等比数列的定义,通项公式和前项和的公式,并能利用这些知识解决有关问题,培养学生的化归能力.
三.教学重点:对等差数列和等比数列的判断,通项公式和前项和的公式的应用.
四.教学过程:
(一)主要知识:
1.等差数列的概念及其通项公式,等差数列前项和公式;
2.等比数列的概念及其通项公式,等比数列前项和公式;
3.等差中项和等比中项的概念.
(二)主要方法:
1.涉及等差(比)数列的基本概念的问题,常用基本量来处理;
2.使用等比数列前项和公式时,必须弄清公比是否可能等于1还是必不等于1,如果不能确定则需要讨论;
3.若奇数个成等差数列且和为定值时,可设中间三项为;若偶数个成等差数列且和为定值时,可设中间两项为,其余各项再根据等差数列的定义进行对称设元.若干个数个成等比数列且积为定值时,设元方法与等差数列类似.
4.在求解数列问题时要注意运用函数思想,方程思想和整体消元思想,设而不求.
(三)例题分析:
例1.(1)设数列是递增等差数列,前三项的和为,前三项的积为,则它的首项为 2 .
(2)已知等差数列的公差,且成等比数列,则.
例2.有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,且第一个数与第四个数的和是,第二个数与第三个书的和是,求这四个数.
解:设这四个数为:,则
解得:或,所以所求的四个数为:;或.
例3.由正数组成的等比数列,若前项之和等于它前项中的偶数项之和的11倍,第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍,求数列的通项公式.
解:当时,得不成立,∴,
∴
由①得,代入②得,
∴.
说明:用等比数列前项和公式时,一定要注意讨论公比是否为1.
例4.已知等差数列,
(1)在区间上,该数列有多少项?并求它们的和;
(2)在区间上,该数列有多少项能被整除?并求它们的和.
解:,
(1)由,得,又,
∴ 该数列在上有项, 其和.
(2)∵,∴要使能被整除,只要能被整除,即,
∴,∴,∴,∴在区间上该数列中能被整除的项共有项即第项,其和.
五.课后作业:《高考计划》考点20,智能训练5,6, 12,13,14,15.
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