一.课题:等差数列、等比数列的性质及应用
二.教学目标:熟练掌握等差(比)数列的基本公式和一些重要性质,并能灵活运用性质解决有关的问题,培养对知识的转化和应用能力.
三.教学重点:等差(比)数列的性质的应用.
四.教学过程:
(一)主要知识:
有关等差、等比数列的结论
1.等差数列的任意连续项的和构成的数列仍为等差数列.
2.等差数列中,若,则
3.等比数列中,若,则
4.等比数列{an}的任意连续项的和构成的数列仍为等比数列.
5.两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列.
6.两个等比数列与的积、商、倒数的数列、、仍为等比数列.
(二)主要方法:
1.解决等差数列和等比数列的问题时,通常考虑两类方法:①基本量法:即运用条件转化为关于和的方程;②巧妙运用等差数列和等比数列的性质,一般地运用性质可以化繁为简,减少运算量.
2.深刻领会两类数列的性质,弄清通项和前项和公式的内在联系是解题的关键.
(三)例题分析:
例1.(1)若一个等差数列前3项的和为34,最后三项的和为146,且所有项的和为,则这个数列有13 项;
(2)已知数列是等比数列,且,,,则 9 .
(3)等差数列前项和是,前项和是,则它的前项和是 210 .
例2.若数列成等差数列,且,求.
解:(法一)基本量法(略);
(法二)设,则
得:,, ∴,
∴.
例3.等差数列中共有奇数项,且此数列中的奇数项之和为,偶数项之和为,,求其项数和中间项.
解:设数列的项数为项,
则,
∴, ∴,∴数列的项数为,中间项为第项,且.
说明:(1)在项数为项的等差数列中,;
(2)在项数为项的等差数列中.
例4.数列是首项为,公比为的等比数列,数列满足
,(1)求数列的前项和的最大值;(2)求数列的前项和.
解:(1)由题意:,∴,∴数列是首项为3,公差为的等差数列,
∴,∴
由,得,∴数列的前项和的最大值为
(2)由(1)当时,,当时,,
∴当时,
当时,
∴.
例5*.若和分别表示数列和的前项和,对任意自然数,有,,(1)求数列的通项公式;(2)设集合,
.若等差数列任一项是中的最大数,且,求的通项公式.
解:(1)当时:,
两式相减得:,∴,又也适合上式,
∴数列的通项公式为.
(2)对任意,,∴,∴
∵是中的最大数,∴,设等差数列的公差为,则,
∴,即,又是一个以为公差的等差数列,
∴,∴,∴.
(四)巩固练习:1.若数列(*)是等差数列,则有数列(*)也为等差数列,类比上述性质,相应地:若数列是等比数列,且(*),则有(*)也是等比数列.
2.设和分别为两个等差数列的前项和,若对任意,都有 ,则第一个数列的第项与第二个数列的第项的比是.
说明:.
五.课后作业:《高考计划》考点21,智能训练4,8,12,14,15,16.
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