一．课题：平面向量的数量积
二．教学目标：掌握平面向量的数量积及其性质和运算率，掌握两向量夹角及两向量垂直的
充要条件和向量数量积的简单运用．
三．教学重点：平面向量数量积及其应用．
四．教学过程：
（一）主要知识：
1．平面向量数量积的概念；
2．平面向量数量积的性质：、；
3．向量垂直的充要条件：．
（二）主要方法：
1．注意向量夹角的概念和两向量夹角的范围；
2．垂直的充要条件的应用；
3．当角为锐角或钝角，求参数的范围时注意转化的等价性；
4．距离，角和垂直可以转化到向量的数量积问题来解决．
（三）基础训练：
1.下列命题中是正确的有
①设向量与不共线，若，则； ②；
③，则； ④若，则
2．已知为非零的平面向量. 甲： （ ）
甲是乙的充分条件但不是必要条件
甲是乙的必要条件但不是充分条件
甲是乙的充要条件
甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
3．已知向量，如果向量与垂直，则的值为 （ ）
2
4．平面向量中，已知，且，则向量___ __ ____.
5．已知||=||=2，与的夹角为600，则+在上的投影为 。
6．设向量满足，则 。
7．已知向量的方向相同，且，则___ ____。
8．已知向量和的夹角是120°，且，，则= 。
（四）例题分析：
例1．已知平面上三个向量、、的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°， （1）求证：⊥；（2）若，求的取值范围.
解：（1）∵ ，且、、之间的夹角均为120°，
∴
∴
（2）∵ ，即
也就是
∵ ，∴
所以 或．
例2．已知： 、、是同一平面内的三个向量，其中 =（1，2） （1）若||，且，求的坐标； （2）若||=且与垂直，求与的夹角.
解：（1）设，由和可得：
∴ 或
∴，或
（2） 即
∴ ， 所以
∴ ∵
∴ .
例3．设两个向量、，满足，，、的夹角为60°，若向量与向量的夹角为钝角，求实数的取值范围.
解：，，
∴
∴
设
∴ 时，与的夹角为，
∴ 的取值范围是。
例4．如图，在Rt△ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问
的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值.
解法一：
故当，即（与方向相同）时，最大，其最大值为0。
解法二：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系.
设，则且
设点的坐标为，
则，
故当，即（与方向相同）时，最大，其最大值为0。
五．课后作业：
1．已知向量,向量则的最大值，最小值分别是（ ）
16，0 4，0
2．平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点，，若点满足，其中，且，则点的轨迹方程为： （ ）
3．已知向量，，那么的值是 （ ） 1
4．在中，，的面积是，若，，则( )
5．已知为原点，点的坐标分别为，，其中常数，点在线段上，且有，则的最大值为 （ ）
6．设是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且，则的值等于 （ ） 2 4 8
7.设是任意的非零平面向量，且相互不共线，则
①；?????????????? ②
③不与垂直????????? ④
中，是真命题的有 ( )
（A）①②??????? （B）②③????? （C）③④???? （D）②④
8．设为平面上四个点，，，，且，=，则＝___________________。
9．若对个向量存在个不全为零的实数，使得成立，则称向量为“线性相关”．依此规定， 能说明，，“线性相关”的实数依次可以取 ；（写出一组数值即可，不必考虑所有情况）．
10．向量都是非零向量，且，求向量与的夹角.
11．已知向量， 。 （1）当，求； （2）若≥对一切实数都成立，求实数的取值范围。
12．设,, ,，与轴正半轴的夹角为,与轴正半轴的夹角为，且,求．
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