课题一：轨迹问题（2）
一．复习目标：
1．掌握求轨迹方程的另几种方法——相关点法（代入法）、参数法（交规法）；
2．学会用适当的参数去表示动点的轨迹，掌握常见的消参法．
二．知识要点：
1．相关点法（代入法）：对于两个动点，点在已知曲线上运动导致点运动形成轨迹时，只需根据条件找到这两个点的坐标之间的等量关系并化为然后将其代入已知曲线的方程即得到点的轨迹方程．
2．参数法（交规法）：当动点的坐标之间的直接关系不易建立时，可适当地选取中间变量，并用表示动点的坐标，从而动点轨迹的参数方程消去参数，便可得到动点的的轨迹的普通方程，但要注意方程的等价性，即有的范围确定出的范围．
三．课前预习：
1．已知椭圆的右焦点为，、分别为椭圆上和椭圆外一点，且点分的比为，则点的轨迹方程为 （ ）
2．设动点在直线上，为坐标原点，以为直角边，点为直角顶点作等腰直角三角形，则动点的轨迹是 （ ）
两条平行直线 抛物线 双曲线
3．已知点在以原点为圆心的单位圆上运动，则点的轨迹是 （ ）
圆 抛物线 椭圆 双曲线
4．双曲线关于直线对称的曲线方程是
5．倾斜角为的直线交椭圆于两点，则线段中点的轨迹方程
是
四．例题分析：
例1．动圆，过原点作圆的任一弦，求弦的中点的轨迹方程．
解：（一）直接法：设为过的任一条弦是其中点，则，则
∴ ，即
（二）定义法：∵，动点在以为圆心，为直径的圆上，
∴所求点的轨迹方程为
（三）参数法：设动弦的方程为，由 得：
，设，的中点为，则：
， 消去得
小结：
例2．求过点，离心率为，且以轴为准线的椭圆的下方的顶点轨迹方程．
解：设椭圆下方的焦点，椭圆的下方的顶点为
由定义，∴，即点的轨迹方程是，
又，∴点的轨迹方程为．
例3．设椭圆方程为，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足，点N的坐标为，当l绕点M旋转时，求：
（1）动点P的轨迹方程；
（2）的最小值与最大值.
（1）解法一：直线l过点M（0，1）设其斜率为k，则l的方程为
记、由题设可得点A、B的坐标、是方程组
的解.
将①代入②并化简得，，所以
于是
设点P的坐标为则
消去参数k得 ③
当k不存在时，A、B中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，所以点P的轨迹方程为
解法二：设点P的坐标为，因、在椭圆上，所以
④ ⑤
④—⑤得，所以
当时，有 ⑥
并且 ⑦ 将⑦代入⑥并整理得 ⑧
当时，点A、B的坐标为（0，2）、（0，－2），这时点P的坐标为（0，0）
也满足⑧，所以点P的轨迹方程为
五．课后作业： 班级 学号 姓名
1．抛物线经过焦点的弦的中点的轨迹方程是 （ ）
2．已知椭圆的左、右顶点分别为和，垂直于椭圆长轴的动直线与椭圆的两个交点分别为和，其中的纵坐标为正数，则直线与的交点的轨迹方程 （ ）
3．已知抛物线的顶点为，那么当变化时，此抛物线焦点的轨迹方程是___________________________．
4．自椭圆上的任意一点向轴引垂线，垂足为，则线段的中点的轨迹方程为
5．已知椭圆的两个焦点分别是F1、F2，△MF1F2的重心G恰为椭圆上的点，则点的轨迹方程为 ．
6．如图， 7．设为直角坐标平面内轴正方向上的单位向量，若向量 ，，求点的轨迹C的方程．
7．某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两个观测点晚，已知各观测点到中心的距离都是，试确定该巨响发生的位置．（假定当时声音传播的速度为；相关各点均在同一平面上）
8．设双曲线的离心率为，右准线与两条渐近线交于两点，右焦点为，且为等边三角形．
（1）求双曲线的离心率的值；（2）若双曲线被直线截得的弦长为，求双曲线的方程；（3）设双曲线经过点，以为左焦点，为左准线的椭圆，其短轴的端点为，求中点的轨迹方程．
【点此下载】