课题一：圆锥曲线的应用（1）
一．复习目标：会按条件建立目标函数研究变量的最值问题及变量的取值范围问题，注意运用“数形结合”、“几何法”求某些量的最值．
二．知识要点：
1．与圆锥曲线有关的参数问题的讨论常用的方法有两种：
（1）不等式（组）求解法：利用题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式（组）得出参数的变化范围；（2）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围．
2．圆锥曲线中最值的两种求法：
（1）几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法；（2）代数法：若题目中的条件和结论能体现明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值．
三．课前预习：
1．点是双曲线上的一点，、分别是双曲线的左、右两焦点，，则等于 （ ）
2．双曲线的左焦点为，为双曲线在第三象限内的任一点，则直线的斜率的取值范围是 （ ）
或 或 或 或
3．椭圆的短轴为，点是椭圆上除外的任意一点，直线在轴上的截距分别为，则 4 ．
4．已知椭圆长轴、短轴及焦距之和为，则长半轴长的最小值是．
5．已知分别是双曲线的实半轴、虚半轴和半焦距，若方程无实数根，则此双曲线的离心率的取值范围是．
四．例题分析：
例1．过抛物线的焦点，作相互垂直的两条焦点弦和，求的最小值．
解：抛物线的焦点坐标为，设直线方程为，则方程为，分别代入得：
及，
∵，，
∴，当且仅当时取等号，
所以，的最小值为．
例2．已知椭圆的焦点、，且与直线有公共点，求其中长轴最短的椭圆方程．
解：（法一）设椭圆方程为（），
由得，
由题意，有解，∴，
∴，∴或（舍），
∴，此时椭圆方程是．
（法二）先求点关于直线的对称点，直线与椭圆的交点为，则，
∴，此时椭圆方程是．
小结：本题可以从代数、几何等途径寻求解决，通过不同角度的分析和处理，拓宽思路．
例3．直线与双曲线的左支交于两点，直线经过点及中点，求直线在轴上截距的取值范围．
解：由得，设、，
则，中点为，
∴方程为，令，
得，
∵，∴，
所以，的范围是．
小结：用表示的过程即是建立目标函数的过程，本题要注意的取值范围．
五．课后作业： 班级 学号 姓名
1．为过椭圆中心的弦，是椭圆的右焦点，则面积的最大值是 （ ）
2．若抛物线与椭圆有四个不同的交点，则的取值范围是（ ）
3．椭圆中是关于的方程中的参数，已知该方程无解，则其离心率的取值范围为 ．
4．已知是椭圆上的动点，是焦点，则的取值范围是 ．
5．抛物线上的点到直线：的距离最小，则点坐标是 ．
6．由椭圆的顶点引弦，求长的最大值．
7．过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，若、 、成等比数列，求抛物线方程．
8．已知椭圆的两个焦点分别是，离心率，
（1）求椭圆的方程；（2）一条不与坐标轴平行的直线与椭圆交于不同的两点，且线段中点的横坐标为，求直线的倾斜角的范围．
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