课题一：直线和平面平行及平面与平面平行
一．复习目标：
1．了解直线和平面的位置关系；掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理．
2．了解平面和平面的位置关系；掌握平面和平面平行的判定定理和性质定理．
二．课前预习：
1．已知直线、和平面，那么的一个必要不充分的条件是 （ ）
， ，
且 、与成等角
2．、表示平面，、表示直线，则的一个充分条件是 （ ）
，且 ，且
，且 ，且
3.已知平面平面，是外一点，过点的直线与分别交于点，过点的直线与分别交于点，且，，，则的长为（ ）
或
4．空间四边形的两条对角线，，则平行于两对角线的截面四边形的周长的取值范围是 ．答案：（8，12）
三．例题分析：
例1．正方体ABCD—A1B1C1D1中．
(1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C；
(2)若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD．
证明：(1)由B1B∥DD1，得四边形BB1D1D是平行四边形，
∴B1D1∥BD，
又BD (平面B1D1C，B1D1平面B1D1C，
∴BD∥平面B1D1C．
同理A1D∥平面B1D1C．
而A1D∩BD＝D，
∴平面A1BD∥平面B1CD．
(2)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1．
取BB1中点G，∴AE∥B1G．
从而得B1E∥AG，同理GF∥AD．
∴AG∥DF．
∴B1E∥DF．
∴DF∥平面EB1D1．
∴平面EB1D1∥平面FBD．
说明 要证“面面平面”只要证“线面平面”，要证“线面平行”，只要证“线线平面”，故问题最终转化为证线与线的平行．
小结：
例2．如图，已知M、N、P、Q分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点．
求证：(1)线段MP和NQ相交且互相平分；(2)AC∥平面MNP，BD∥平面MNP．
证明：(1) ∵M、N是AB、BC的中点，∴MN∥AC，MN＝AC．
∵P、Q是CD、DA的中点，∴PQ∥CA，PQ＝CA．
∴MN∥QP，MN＝QP，MNPQ是平行四边形．
∴□MNPQ的对角线MP、NQ相交且互相平分．
(2)由(1)，AC∥MN．记平面MNP(即平面MNPQ)为α．显然AC(α．
否则，若AC(α，
由A∈α，M∈α，得B∈α；
由A∈α，Q∈α，得D∈α，则A、B、C、D∈α，
与已知四边形ABCD是空间四边形矛盾．
又∵MN(α，∴AC∥α，
又AC (α，∴AC∥α，即AC∥平面MNP．
同理可证BD∥平面MNP．
小结：
例3．已知正四棱锥的底面边长为，侧棱长为，点分别在和上，并且，平面，求线段的长．
解：延长交延长线于点，连，可证得，由与相似及已知求得．在等腰中，求出，又在中，由于余弦定理求得．
∵，∴，∴．
小结：
四．课后作业： 班级 学号 姓名
1．设线段是夹在两平行平面间的两异面线段，点，，若分别为的中点，则有 （ ）
2．是两个不重合平面，是两条不重合直线，那么的一个充分条件是（ ）
，，且， ，，且
，，且 ，，且
3．在正四棱柱中，分别为棱、、、的中点，是的中点，点在四边形及其内部运动，则满足条件
时，有平面．（点在线段上）
4．在长方体中，经过其对角线的平面分别与棱、相交于两点，则四边形的形状为 ．（平行四边形）
5．如图，A，B，C，D四点都在平面(，(外，它们在(内的射影A1，B1，C1，D1是平行四边形的四个顶点，在(内的射影A2，B2，C2，D2在一条直线上，求证：ABCD是平行四边形．
证明：∵ A，B，C，D四点在(内的射影A2，B2，C2，D2
在一条直线上，
∴A，B，C，D四点共面．
又A，B，C，D四点在(内的射影A1，B1，C1，D1是平行四边形的四个顶点，
∴平面ABB1A1∥平面CDD1C1．
∴AB，CD是平面ABCD与平面ABB1A1，平面CDD1C1的交线．
∴AB∥CD．
同理AD∥BC．
∴四边形ABCD是平行四边形．
6．若一直线与一个平面平行，则过平面内的一点且与这条直线平行的直线必在此平面内．
解：如图，设，，．由，
∴它们确定一个平面，设，可证，
在平面内，过点存在，，
∴与重合，即．
7．点是所在平面外一点，分别是、、的重心，求证：（1）平面平面；（2）求．
证明：（1）如图，分别取的中点，
连结，
∵分别是、、的重心，
∴分别在上，
且．
在中，，故，
又为的边的中点，， ∴，∴平面，同理平面
∴平面平面．
（2）由（1）知，，
∴．
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