课题一： 直线与平面垂直
一．复习目标：
1．掌握直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理，并能运用它们进行论证和解决有关的问题；2．会用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直，并会规范地写出解题过程。
二．知识要点：
1．直线与平面垂直的判定定理是 ；
性质定理是 ；
2．三垂线定理是 ；
三垂线定理的逆定理是 ；
3．证明直线和平面垂直的常用方法有：
三．课前预习：
1．若表示直线，表示平面，下列条件中，能使的是 （ ）
2．已知与是两条不同的直线，若直线平面，①若直线，则；②若，则；③若，则；④，则。上述判断正确的是 （ ）
①②③ ②③④ ①③④ ②④
3．在直四棱柱中，当底面四边形满足条件 时，
有（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）
4.设三棱锥的顶点在平面上的射影是，给出以下命题：
①若，，则是的垂心
②若两两互相垂直，则是的垂心
③若，是的中点，则
④若，则是的外心
其中正确命题的命题是 ①②③④
四．例题分析：
例1．四面体中，分别为的中点，且，
，求证：平面
证明：取的中点，连结，∵分别为的中点，∴
，又∴，∴在中，
∴，∴，又，即，
∴平面
例2．如图是所在平面外一点，平面，是的中点，
是上的点，
（1）求证：；（2）当，时，求的长。
（1）证明：取的中点，连结，∵是的中点，
∴，∵ 平面 ，∴ 平面
∴是在平面内的射影 ，取 的中点，连结
，∵∴，又，∴
∴，∴，由三垂线定理得
（2）∵，∴，∴，∵平面
∴，且，∴
例3. 如图，直三棱柱中，，侧棱，侧面的两条对角线交于点，的中点为，求证：平面
证明：连结，∵∴，在直三棱柱中
，∴平面，∵，
∴，∴，∵是侧面的两条对角
线的交点，∴是与的中点，∴，连结
，取的中点，连结，则，
∵平面，∴平面，∴是在
平面内的射影。在中，
在中，，∴
∴，∴，∴平面
D1五．课后作业： 班级 学号 姓名
1．下列关于直线与平面的命题中，真命题是 （ ）
若且，则 若且，则
若且，则 且，则
2．已知直线a、b和平面M、N，且，那么 （ ）
（A）∥Mb⊥a （B）b⊥ab∥M
（C）N⊥Ma∥N （D）
3．在正方体中，点在侧面及其边界上运动，并且保持，则动点的轨迹为 （ ）
线段 线段
的中点与的中点连成的线段 的中点与的中点连成的线段
4．三条不同的直线，、、为三个不同的平面
①若∥ ②若∥.
③若、 ④若∥
上面四个命题中真命题的个数是
5．如图，矩形所在的平面，分别是的中点，
（1）求证：平面； （2）求证：
（3）若，求证：平面
6．是矩形，，沿对角线把折起，使，
（1）求证：是异面直线与的公垂线；（2）求的长。
7．如图，已知是由一点引出的不共面的三条射线，，求证：
8．矩形中，，平面，且，边上存在点，使得，求的取值范围。
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