课题一：向量与向量的初等运算
一．复习目标：
了解棱柱和棱锥的概念，周围棱柱、正棱锥的有关性质，能进行有关角和距离的运算。
二．知识要点：
1． 叫棱柱
2．正棱柱的性质有
3． 叫正棱锥
4．正棱锥的性质有
{四棱柱}，{平行六面体}，{长方体}，{正方体}，{正四棱柱}
{直平行六面体}，这六个集合之间的关系是
三．课前预习：
1．给出下列命题：
①底面是正多边形的棱锥是正棱锥；
②侧棱都相等的棱锥是正棱锥；
③侧棱和底面成等角的棱锥是正棱锥；
④侧面和底面所成二面角都相等的棱锥是正棱锥，其中正确命题的个数是( )
2．如果三棱锥的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点在底面的射影在内，那么是的( )
垂心 重心 外心 内心
．已知三棱锥的三个侧面与底面全等，且 ，，则以为棱，以面与面为面的二面角的大小是( )
4．已知长方体中，棱，，那么直线和平面的距离是 .
5．三棱柱，侧棱在下底面上的射影平行于，如果侧棱与底面所成的角为，，则的余弦为
四．例题分析：
例1．正四棱锥中，高，两相邻侧面所成角为 ，,
(1)求侧棱与底面所成的角。(2)求侧棱 长、底面边长和斜高(见图)。
解：（1） 作于，连结，则且，故是相邻侧面所成二面角的平面角，连结，则， ，在与中， ＝＝(其中为与底面所成的角，设为) 故 。
（2）在 中，侧棱=，，
∴边长；取的中点，连结，则是正四棱锥的斜高，
在中，斜高；
例2．如图正三棱锥中，底面边长为，侧棱长为，若经过对角线且与对角线平行的平面交上底面于。（1）试确定点的位置，并证明你的结论；（2）求平面与侧面所成的角及平面与底面所成的角；（3）求到平面的距离。
解：（1）为的中点。连结与交于，则为的中点，为平面与平面的交线，∵//平面
∴//，∴为的中点。
（2）过作于，由正三棱锥的性质，平面，连结，则为平面与侧面所成的角的平面角，可求得，
由，得，∴
∵为的中点，∴，由正三棱锥的性质，，∴平面
∴，∴是平面与上底面所成的角的平面角，可求得
，∴
（3）过作，∵平面，∴，∴平面
即是到平面的距离，，∴
例3．如图，已知三棱锥的侧面是底角为的等腰三角形，，且该侧面垂直于底面，，，，
(1)求证：二面角是直二面角；
(2)求二面角的正切值；
(3)若该三棱锥被平行于底面的平面所截，得到一个几何体，求几何体的侧面积．
证 (1) 如图，在三棱锥中，取的中点．
由题设知是等腰直角三角形，且．∴ ．
∵ 平面平面，∴ 平面 ，
∵ ∴ ，∴ 平面，
∵ 平面 ， ∴平面平面，
即二面角是直二面角．
解 (2)作，为垂足，则 ．∴ 是二面角的平面角．在中，，则
由，得
＝＝，
∴ 所求正切为＝．
(3) ∵ ∴ 分别是的中点．
∴ ， ．
∵ ＝＝，
．
∴ ，∴ 几何体的侧面积
五．课后作业： 班级 学号 姓名
1．设正六棱锥的底面边长为，侧棱长为，那么它的体积为( )
2．正方体中，是的中点，为底面正方形的中心，为棱上任意一点，则直线与直线所成的角为 ( )
与点的位置有关
3．正三棱锥中，，侧棱两两互相垂直，则底面中心到侧面的距离为 （ ）
4．一个长方体全面积是20cm2，所有棱长的和是24cm，则长方体的对角线长为 4
．三棱锥的高，且是底面的垂心，若，二面角为，为的重心，则的长为
6．如图，已知斜三棱柱的底面边长分别是，，侧棱，顶点与下底面各个顶点的距离相等，求这个棱柱的全面积．
7．如图，已知为正三棱锥的高，，侧面与底面成角，过点作平面平行于和，得截面．(1)求证：；(2)截面的面积．
．如图正三棱锥中，底面边长为，在侧棱上截取，在侧棱上截取，过作棱柱的截面，（1）求证：截面侧面；（2）求截面与底面所成的角。
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