课题：导数的应用
导数的应用
一．复习目标：
1．了解可导函数的单调性与其导数的关系；
2．了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号），会求一些实际问题的最大值和最小值．
二．知识要点：
1．函数的单调性：
设函数在某区间内可导，则在该区间上单调递增；
在该区间上单调递减．
反之，若在某区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；
若在某区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）．
2．函数的极值：
（1）概念：函数在点附近有定义，且若对附近的所有点都有（或），则称为函数的一个极大（小）值，称为极大（小）值点．
（2）求函数极值的一般步骤：
①求导数；②求方程的根；③检验在方程的根的左右的符号，如果是左正右负（左负右正），则在这个根处取得极大（小）值．
3．函数的最值：
①求函数在区间上的极值；②将极值与区间端点函数值比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值．
三．课前预习：
1．在下列结论中，正确的结论有 （ ）
①单调增函数的导函数也是单调增函数； ②单调减函数的导函数也是单调减函数；
③单调函数的导函数也是单调函数； ④导函数是单调，则原函数也是单调的．
0个 2个 3个 4个
2．如果函数在上的最小值是，那么 （ ）
1 2
2．若函数有三个单调区间，则的取值范围是 （ ）
3．函数的图象与轴切于点，则的极大值为，极小值为0．
4．函数，当时，有极值1，则函数的单调减区间为．
5．函数，若对于任意，都有，则实数的取值范围是．
四．例题分析：
例1．已知函数有绝对值相等，符号相反的极大值和极小值，试确定常数的值．
解：，
∴，
令，得，
由题意，该方程必定有不相等两实根，可分别设为，
则，，
∴
∴或或．
例2．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10公里时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每公里的费用总和最小？
解：设船速度为时，燃料费用为元，则，
由可得，∴，
∴总费用，
，令得，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
∴当时，取得最小值，
∴此轮船以20公里/小时的速度使行驶每公里的费用总和最小．
例3．如图，已知曲线：与曲线：交于点，直线与曲线、交于点，
（1）写出四边形的面积与的函数关系；
（2）讨论的单调性，并求的最大值．
解：（1）由得交点坐标分别是，，
，
∴．
（2），令，得，
当时，，此时函数在单调递增；
当时，，此时函数在单调递减．
所以，当时，的最大值为．
五．课后作业： 班级 学号 姓名
1．设函数则下列结论中，正确的是 （ ）
有一个极大值点和一个极小值点 只有一个极大值点
只有一个极小值点 有二个极小值点
2．若函数在上无极值，则必有 （ ）
3．已知曲线上一点，则点处的切线方程是 ；过点的切线方程是 ．
答：点处的切线方程是，过点的切线方程是或．
4．抛物线上一点处的切线的倾斜角为，切线与轴的交点分别是，则的面积为 ．
5．已知，奇函数在上单调，则字母应满足的条件是 ．
6．已知函数在点处有极小值，试确定的值，并求出的单调区间．
7．已知函数.
（1）若的单调减区间为，求的值；
（2）当时，求证：.
8．已知为实数，，
（1）求；
（2）若，求在上的最大值和最小值；
（3）若在和上都是递增的，求的取值范围．
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