课题：复数的有关概念
一．教学目标：
1．使学生了解扩充实数集的必要性，正确理解复数的有关概念．掌握复数的代数、几何、三角表示及其转换；
2．掌握复数的运算法则，能正确地进行复数的运算，并理解复数运算的几何意义；
3．掌握在复数集中解实数系数一元二次方程和二项方程的方法．
4．通过内容的阐述，带综合性的例题和习题的训练，继续提高学生灵活运用数学知识解题的能力．
5．通过数的概念的发展，复数、复平面内的点及位置向量三者之间的联系与转换的复习教学，继续对学生进行辩证观点的教育．
二．教学重点：复数三角形式表示法及复数的运算法则，复数与实数的区别和联系。
三．教学过程：
（一）主要知识：
1.数的概念的发展，复数的有关概念（实数、虚数、纯虚数、复数相等、共轭复数、模）；
2.复数的代数表示与向量表示；
3.复数的加法与减法，复数的乘法与除法，复数的三角形式，复数三角形式的乘法与乘方，复数三角形式的除法与开方；
4.复数集中解实系数方程（包括一元二次方程、二项方程）。
复数在过去几年里是代数的重要内容之一，涉及的知识面广，对能力要求较高，是高考热点之一。但随着新教材对复数知识的淡化，高考试题比例下降，因此考生要把握好复习的尺度。
从近几年的高考试题上看：复数部分考查的重点是基础知识题型和运算能力题型。基础知识部分重点是复数的有关概念、复数的代数形式、三角形式、两复数相等的充要条件及其应用，复平面内复数的几何表示及复向量的运算。主要考点为复数的模与辐角主值，共轭复数的概念和应用。若只涉及到一、二个知识点的试题大都集中在选择题和填空题；若涉及几个知识点的试题，往往是中、高档题目，解答此类问题一般要抓住相应的概念进行正确的变换，对有些题目，往往用数形结合可获得简捷的解法。有关复数n次乘方、求辐角（主值）等问题，涉及到复数的三角形式，首先要将所给复数转化为三角形式后再进行变换。
复数的运算是高考中复数部分的热点问题。主要考查复数的代数和三角形式的运算，复数模及辐角主值的求解及复向量运算等问题。
基于上述情况，我们在学习“复数”一章内容时，要注意以下几点：
（1）复数的概念几乎都是解题的手段。因此在学习复数时要在深入理解、熟练掌握复数概念上下功夫。除去复数相等、模、辐角、共轭
复数的三角形式和代数式，提供了将“复数问题实数化”的手段。
复数的几何意义也是解题的一个重要手段。
（2）对于涉及知识点多，与方程、三角、解析几何等知识综合运用的思想方法较多的题型，以及复数本身的综合题，一直成为学生的难点，应掌握规律及典型题型的技巧解法，并加以强化训练以突破此难点；
(3)重视以下知识盲点：
①不能正确理解复数的几何意义，常常搞错向量旋转的方向；
②忽视方程的虚根成对出现的条件是实系数；
③盲目地将实数范围内数与形的一些结论，不加怀疑地引用到复数范围中来；
④容易混淆复数的有关概念，如纯虚数与虚数的区别问题，实轴与虚轴的交集问题，复数辐角主值的范围问题等。
（二）知识点详析
1．知识体系表解
2．复数的有关概念和性质：
(1)i称为虚数单位，规定，形如a+bi的数称为复数，其中a，b∈R．
(2)复数的分类(下面的a，b均为实数)
(3)复数的相等设复数，那么的充要条件是：．
(4)复数的几何表示复数z=a+bi（a，b∈R）可用平面直角坐标系内点Z(a，b)来表示．这时称此平面为复平面，x轴称为实轴，y轴除去原点称为虚轴．这样，全体复数集C与复平面上全体点集是一一对应的．
复数z=a+bi．在复平面内还可以用以原点O为起点，以点Z(a，b)
向量所成的集合也是一一对应的(例外的是复数0对应点O，看成零向量)．
(7)复数与实数不同处
①任意两个实数可以比较大小，而任意两个复数中至少有一个不是实数时就不能比较大小．
②实数对于四则运算是通行无阻的，但不是任何实数都可以开偶次方．而复数对四则运算和开方均通行无阻．
3．有关计算：
⑴怎样计算？（先求n被4除所得的余数，）
⑵是1的两个虚立方根，并且：
复数集内的三角形不等式是：，其中左边在复数z1、z2对应的向量共线且反向（同向）时取等号，右边在复数z1、z2对应的向量共线且同向（反向）时取等号。
棣莫佛定理是：
若非零复数，则z的n次方根有n个，即：
它们在复平面内对应的点在分布上有什么特殊关系？
都位于圆心在原点，半径为的圆上，并且把这个圆n等分。
若，复数z1、z2对应的点分别是A、B，则△AOB（O为坐标原点）的面积是。
=。
复平面内复数z对应的点的几个基本轨迹：
①轨迹为一条射线。
②轨迹为一条射线。
③轨迹是一个圆。
④轨迹是一条直线。
⑤轨迹有三种可能情形：a)当时，轨迹为椭圆；b)当时，轨迹为一条线段；c)当时，轨迹不存在。
⑥轨迹有三种可能情形：a)当时，轨迹为双曲线；b)当时，轨迹为两条射线；c)当时，轨迹不存在。
4．学习目标
(1)联系实数的性质与运算等内容，加强对复数概念的认识；
(2)理顺复数的三种表示形式及相互转换：z=r(cosθ+isinθ)((Z(a,b))(z=a+bi
(3)正确区分复数的有关概念；
(4)掌握复数几何意义,注意复数与三角、解几等内容的综合；
(5)正确掌握复数的运算：复数代数形式的加、减、乘、除；三角形式的乘、除、乘方、开方及几何意义；虚数单位i及1的立方虚根ω的性质；模及共轭复数的性质；
(6)掌握化归思想——将复数问题实数化（三角化、几何化）；
(7)掌握方程思想——利用复数及其相等的有关充要条件，建立相应的方程，转化复数问题。
（三）例题分析：
Ⅰ.2004年高考数学题选
1. (2004年四川卷理3)设复数ω＝－＋i，则1＋ω＝
A.–ω B.ω2 C. D.
2．(2004重庆卷2）)设复数, 则 （ ）
A．–3 B．3 C．－3i D．3i
3. （2004高考数学试题广东B卷14）已知复数z与 (z +2)2-8i 均是纯虚数,则 z = .
Ⅱ.范例分析
①实数？②虚数？③纯虚数？
①复数z是实数的充要条件是：
∴当m＝2时复数z为实数．
②复数z是虚数的充要条件：
∴当m≠3且m≠2时复数z为虚数
③复数z是纯虚数的充要条件是：
∴当m＝1时复数z为纯虚数．
【说明】要注意复数z实部的定义域是m≠3，它是考虑复数z是实数，虚数纯虚数的必要条件．
要特别注意复数z＝a+bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0．
，所以，代入①得，故选．
解法3：选择支中的复数的模均为，又，而方程右边为2+i，它的实部，虚部均为正数，因此复数z的实部，虚部也必须为正，故选择B．
【说明】解法1利用复数相等的条件；解法2利用复数模的性质；解法3考虑选择题的特点．
求：z
【分析】确定一个复数要且仅要两个实数a、b，而题目恰给了两个独立条件采用待定系数法可求出a、b确定z．
运算简化．
解：设z=x+yi(x，y∈R)
将z=x+yi代入|z4|＝|z4i|可得x＝y，∴z=x+xi
(2)当|z1|＝13时，即有xx6=0则有x=3或x=2
综上所述故z＝0或z=3+3i或z=-22i
【说明】注意熟练地运用共轭复数的性质．其性质有：
(3)1+2i+3+…+1000
【说明】计算时要注意提取公因式，要注意利用i的幂的周期性，
(3)解法1：原式=(1+2i34i)+(5+6i78i)+…+(997+998i9991000i)
=250(22i)=500500i
解法2：设S＝1+2i+3+…+1000，则iS＝i+2+3+…+999+1000，
∴(1i)S＝1+i++…+1000
【说明】充分利用i的幂的周期性进行组合，注意利用等比数列求和的方法．
【例6】已知三边都不相等的三角形ABC的三内角A、B、C满足
、
的值.
【解】
得……3分
上式化简为……6分
……9分
当……12分
【例7】设z1=1-cosθ+isinθ，z2=a2+ai(a∈R)，若z1z2≠0，z1z2+=0，问在（0，2π）内是否存在θ使(z1-z2)2为实数？若存在，求出θ的值；若不存在，请说明理由．
【分析】这是一道探索性问题．可根据复数的概念与纯虚数的性质及复数为实数的充要条件，直接进行解答．
【解】假设满足条件的θ存在．
因z1z2≠0，z1z2+=0，故z1z2为纯虚数．
又z1z2=(1-cosθ+isinθ)(a2+ai)
=[a2(1-cosθ)-asinθ]+[a(1-cosθ)+a2sinθ]i，
于是，
由②知a≠0．
因θ∈(0，2π)，故cosθ≠1．于是，由①得a=．
另一方面，因(z1-z2)2∈R，故z1-z2为实数或为纯虚数．又z1-z2=1-cosθ-a2+(sinθ-a)i，于是sinθ-a=0，或1-cosθ-a2=0．
若sinθ-a=0，则由方程组
得=sinθ，故cosθ=0，于是θ=或θ=．
若1-cosθ-a2=0，则由方程组
得()2=1-cosθ．
由于sin2θ=1-cos2θ=(1+cosθ)(1-cosθ)，故1+cosθ=(1-cosθ)2．
解得cosθ=0，从而θ=或θ=．
综上所知，在(0，2π)内，存在θ=或θ=，使(z1-z2)2为实数．
【说明】①解题技巧：解题中充分使用了复数的性质：z≠0，z+=0(z∈{纯虚数}(以及z2∈R(z∈R或z∈{纯虚数}．（注：Re(z)，Im(z)分别表示复数z的实部与虚部）
②解题规律：对于“是否型存在题型”，一般处理方法是首先假设结论成立，再进行正确的推理，若无矛盾，则结论成立；否则结论不成立．
【例8】设a为实数，在复数集C中解方程： z2+2|z|=a．
【分析】由于z2=a-2|z|为实数，故z为纯虚数或实数，因而需分情况进行讨论．
【解】设|z|=r．若a＜0，则z2=a-2|z|＜0，于是z为纯虚数，从而r2=2r–a．
解得 r=(r=＜0，不合，舍去)．故 z=±()i．
若a≥0，对r作如下讨论：
（1）若r≤a，则z2=a-2|z|≥0，于是z为实数．
解方程r2=a-2r，得r=(r=＜0，不合，舍去)．
故 z=±()．
（2）若r＞a，则z2=a-2|z|＜0，于是z为纯虚数．
解方程r2=2r-a，得r=或r=(a≤1)．
故 z=±()i(a≤1)．
综上所述，原方程的解的情况如下：
当a＜0时，解为：z=±()i；
当0≤a≤1时，解为：z=±()，z=±()i；
当a＞1时，解为：z=±()．
【说明】解题技巧：本题还可以令z=x+yi(x、y∈R)代入原方程后，由复数相等的条件将复数方程化归为关于x，y的实系数的二元方程组来求解．
【例9】（2004年上海市普通高校春季高考数学试卷18）
已知实数满足不等式，试判断方程有无实根，并给出证明.
【解】由，解得，.方程的判别式.
，，，由此得方程无实根.
【例10】给定实数a，b，c．已知复数z1、z2、z3满足
求｜az1+bz2+cz3｜的值．
【分析】注意到条件(1)，不难想到用复数的三角形式；注意到条件（2），可联想使用复数为实数的充要条件进行求解．
【解】解法一由=1，可设=cosθ+isinθ，=cosφ+isinφ，
则==cos(θ+φ)-isin(θ+φ)．因=1，其虚部为0，
故0=sinθ+sinφ-sin(θ+φ)=2sincos-2sincos
=2sin（cos-cos）=4sinsinsin．
故θ=2kπ或φ=2kπ或θ+φ=2kπ，k∈Z．因而z1=z2或z2=z3或z3=z1．
若z1=z2，代入（2）得=±i，此时
｜az1+bz2+cz3｜=|z1|?|a+b±ci｜=．
类似地，如果z2=z3，则｜az1+bz2+cz3｜=；
如果z3=z1，则｜az1+bz2+cz3｜=．
解法二由（2）知∈R，故
=， 即=．
由（1）得=(k=1，2，3)，代入上式，得=，
即z12z3+z22z1+z32z2=z22z3+z32z1+z12z2，分解因式，得(z1-z2)(z2-z3)(z3-z1)=0，
于是z1=z2或z2=z3或z3=z1．下同解法一．
【说明】①解题关键点是巧妙利用复数为实数的充要条件：z∈R(z=，以及视，等为整体，从而简化了运算．
②解题易错点是拿到问题不加分析地就盲目动笔，而不注意充分观察题目的已知条件，结论特征等，从而使问题的求解或是变得异常的复杂，或干脆就无法解出最终的结果．
（四）巩固练习：
设复数z=3cosθ+2isinθ，求函数y=θ-argz(0＜θ＜)的最大值以及对应角θ的值．
【分析】先将问题实数化，将y表示成θ的目标函数，后利用代数法（函数的单调性、基本不等式等）以及数形结合法进行求解．
解法一、由0＜θ＜，得tanθ＞0，从而0＜argz＜．
由z=3cosθ+2isinθ，得 tan(argz)==tanθ＞0．
于是 tany=tan(θ-argz)===
≤=．
当且仅当，即tanθ=时，取“=”．
又因为正切函数在锐角的范围内为增函数，故当θ=arctan时，y取最大值为arctan．
解法二、因0＜θ＜，故cosθ＞0，sinθ＞0，0＜argz＜，且
cos(argz)=，sin(argz)=．
显然y∈(-，)，且siny为增函数．
siny=sin(θ-argz)=sinθcos(argz)-cosθsin(argz)=
==≤=．
当且仅当，即tanθ=，取“=”，此时ymax=arctan．
解法三、设Z1=2(cosθ+isinθ)，Z2=cosθ，则Z=Z1+Z2，而Z1、Z2、Z的辐角主值分别为θ、0，argz．如图所示，必有y=∠ZOZ1，且0＜y＜．
在△ZOZ1中，由余弦定理得
cosy==
=+≥．
当且仅当4+5cos2θ=6，即cosθ=时，取“=”．
又因为余弦函数在0＜θ＜为减函数，故当θ=arccos时，ymax=arccos．
【说明】①解题关键点：将复数问题通过化归转化为实数问题，使问题能在我们非常熟悉的情景中求解．②解题规律：多角度思考，全方位探索，不仅使我们获得了许多优秀解法，而且还使我们对问题的本质认识更清楚，进而更有利于我们深化对复数概念的理解，灵活驾驭求解复数问题的能力．③解题易错点：因为解法的多样性，反三角函数表示角的不唯一性，因而最后的表述结果均不一样，不要认为是错误的．
四．课后作业：
1、下列说法正确的是 [ ]
A．0i是纯虚数B．原点是复平面内直角坐标系的实轴与虚轴的公共点
C．实数的共轭复数一定是实数，虚数的共轭复数一定是虚数D．是虚数
2、下列命题中，假命题是 [ ]
A．两个复数不可以比较大小B．两个实数可以比较大小
C．两个虚数不可以比较大小D．一虚数和一实数不可以比较大小
3、已知对于x的方程+（12i）x+3mi=0有实根，则实数m满足[ ]
4、复数1+i++…+等于 [ ]
A．i B． i C．2i D．2i
5、已知常数，又复数z满足，求复平面内z对应的点的轨迹。
6、设复数，记。
（1）求复数的三角形式；（2）如果，求实数、的值。
7、（2003年普通高等学校招生全国统一考试(理17)）
已知复数的辐角为，且是和的等比中项，求
8、已知复数满足，且。
求的值；（2）求证：；
（3）求证对于任意实数，恒有。
9、（1992·三南试题）求同时满足下列两个条件的所有复数z：
(1)z+是实数，且1＜z+≤6；(2)z的实部和虚部都是整数．
参考答案
1、解0i=0∈R故A错；原点对应复数为0∈R故B错，i2=-1∈R，故D错，所以答案为C。
2、解本题主要考察复数的基本性质，两个不全是实数的复数不能比较大小，故命题B，C，D均正确，故A命题是假的。
3、解本题考察复数相等概念，由已知
4、解：因为i的四个相邻幂的和为0，故原式=1+i+i2+0+0=i，答案：A。
5、解：
∴Z对应的点的轨迹是以对应的点为圆心，以为半径的圆，但应除去原点。
6、答案：（1）；（2）
7、解：设，则复数由题设
8、答案（1）；（2）、（3）省略。
9、分析：按一般思路，应设z＝x＋yi（x，y∈R），或z=r（cos
∵1＜t≤6∴Δ=t2-40＜0，解方程得
又∵z的实部和虚部都是整数，∴t=2或t=6
故z=1±3i或z=3±i
解法二：∵z+∈R，
从而z=或z=10．若z=，则z∈R，因1＜z+≤6，故z＞0，从而z+≥＞6，此时无解；若z=10，则1＜z+≤6．设z=x+yi(x、y∈Z)，则1＜2x≤6，且x2+y2=10，联立解得或或或
故同时满足下列两个条件的所有复数z＝1+3i，1-3i，3+i，3-i。
【点此下载】