一．课题：函数的值域
二．教学目标：理解函数值域的意义；掌握常见题型求值域的方法，了解函数值域的一些应用．
三．教学重点：求函数的值域．
四．教学过程：
（一）主要知识：
1．函数的值域的定义；2．确定函数的值域的原则；3．求函数的值域的方法．
（二）主要方法（范例分析以后由学生归纳）：
求函数的值域的方法常用的有：直接法，配方法，判别式法，基本不等式法，逆求法（反函数法），换元法，图像法，利用函数的单调性、奇偶性求函数的值域等．
（三）例题分析：
例1．求下列函数的值域：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）；
（7）； （8）； （9）．
解：（1）（一）公式法（略）
（二）（配方法），
∴的值域为．
改题：求函数，的值域．
解：（利用函数的单调性）函数在上单调增，
∴当时，原函数有最小值为；当时，原函数有最大值为．
∴函数，的值域为．
（2）求复合函数的值域：设（），则原函数可化为．
又∵，∴，故，
∴的值域为．
（3）（法一）反函数法：的反函数为，其定义域为，
∴原函数的值域为．
（法二）分离变量法：，
∵，∴，
∴函数的值域为．
（4）换元法（代数换元法）：设，则，
∴原函数可化为，∴，
∴原函数值域为．
说明：总结型值域，变形：或
（5）三角换元法：∵，∴设，
则
∵，∴，∴，∴，
∴原函数的值域为．
（6）数形结合法：，∴，∴函数值域为．
（7）判别式法：∵恒成立，∴函数的定义域为．
由得： ①
①当即时，①即，∴
②当即时，∵时方程恒有实根，
∴，∴且，
∴原函数的值域为．
（8），
∵，∴，∴，当且仅当时，即时等号成立．∴，∴原函数的值域为．
（9）（法一）方程法：原函数可化为：，
∴（其中），
∴，∴，∴，∴，
∴原函数的值域为．
（法二）数形结合法：可看作求点与圆上的点的连线的斜率的范围，解略．
例2．若关于的方程有实数根，求实数的取值范围．
解：原方程可化为，
令，则，，又∵在区间上是减函数，
∴，即，
故实数的取值范围为：．
例3．（《高考计划》考点9，智能训练16）某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2003年度进行一系列的促销活动．经过市场调查和测算，化妆品的年销量万件与年促销费用万元之间满足：与成反比例；如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件．
已知2003年，生产化妆品的固定投入为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元．当将每件化妆品的售价定为“年平均每件成本的150％”与“年平均每件所占促销费的一半”之和，则当年产销量相等．
（1）将2003年的年利润万元表示为年促销费万元的函数；
（2）该企业2003年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？
（注：利润＝收入－生产成本－促销费）
解：（1）由题设知：，且时，，∴，即，
∴年生产成本为万元，年收入为．
∴年利润，
∴．
（2）由（1）得，
当且仅当，即时，有最大值．
∴当促销费定为万元时，年该化妆品企业获得最大利润．
（四）巩固练习：
1．函数的值域为．
2．若函数在上的最大值与最小值之差为2，则．
五．课后作业：《高考计划》考点1，智能训练3，4，9，12，13，14．
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