课题一：圆锥曲线
一．课前预习：
1．设抛物线，线段的两个端点在抛物线上，且，那么线段的中点到轴的最短距离是 （ ）
2．椭圆与轴正半轴、轴正半轴分别交于两点，在劣弧上取一点，则四边形的最大面积为 （ ）
3．中，为动点，，，且满足，则动点的轨迹方程是 （ ）
4．已知直线与椭圆相交于两点，若弦中点的横坐标为，则双曲线的两条渐近线夹角的正切值是．
5．已知为抛物线上三点，且，，当点在抛物线上移动时，点的横坐标的取值范围是．
二．例题分析：
例1．已知双曲线：，是右顶点，是右焦点，点在轴正半轴上，且满足成等比数列，过点作双曲线在第一、三象限内的渐近线的垂线，垂足为，
（1）求证：；
（2）若与双曲线的左、右两支分别交于点，求双曲线的离心率的取值范围．
（1）证明：设：，
由方程组得，
∵成等比数列，∴，
∴，，，
∴，，∴．
（2）设，
由得，
∵，∴，∴，即，∴．
所以，离心率的取值范围为．
例2．如图，过抛物线的对称轴上任一点作直线与抛物线交于两点，点是点关于原点的对称点，
（1）设点分有向线段所成的比为，证明：；
（2）设直线的方程是，过两点的圆与抛物线在点处有共同的切线，求圆的方程．
解：（1）设直线的方程为，代入抛物线方程得
设，则，
∵点分有向线段所成的比为，得，∴，
又∵点是点关于原点的对称点，∴，∴，
∴
∴
∴．
（2）由得点，
由得，∴，∴抛物线在点处切线的斜率为，
设圆的方程是，
则，
解得，
∴圆的方程是，即．
三．课后作业： 班级 学号 姓名
1．直线与抛物线相交于两点，该椭圆上的点使的面积等于6，这样的点共有 （ ）
1个 2个 3个 4个
2．设动点在直线上，为坐标原点，以为直角边，点为直角顶点作等腰，则动点的轨迹是 （ ）
圆 两条平行线 抛物线 双曲线
3．设是直线上一点，过点的椭圆的焦点为，，则当椭圆长轴最短时，椭圆的方程为 ．
4．椭圆的焦点为，点在椭圆上，如果线段的中点在轴上，那么是的 倍．
5．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率的最大值为 ．
6．直线：与双曲线：的右支交于不同的两点，
（1）求实数的取值范围；（2）是否存在实数，使得线段为直径的圆经过双曲线的右焦点？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
7．
8．如图，是抛物线：上一点，直线过点并与抛物线在点的切线垂直，与抛物线相交于另一点，
（1）当点的横坐标为时，求直线的方程；
（2）当点在抛物线上移动时，求线段中点的轨迹方程，并求点到轴的最短距离．
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