2012届高考数学二轮复习
专题十一 高考中填空题的解题方法与技巧
【重点知识回顾】
填空题是将一个数学真命题，写成其中缺少一些语句的不完整形式，要求学生在指定的空位上，将缺少的语句填写清楚·准确 。它是一个不完整的陈述句形式，填写的可以是一个词语·数字·符号·数学语句等。
填空题的主要作用是考查学生的基础知识、基本技能及思维能力和分析问题、解决问题的能力，填空题的结果必须是数值准确、形式规范、表达式（数）最简，结果稍有毛病，便得零分．
填空题的基本特点：
1．方法灵活，答案唯一；
2．答案简短，具体明确．
学生在解答填空题时注意以下几点；
1．对于计算型填空题要运算到底，结果要规范；
2．填空题所填结果要完整，不可缺少一些限制条件；
3．填空题所填结论要符合高中数学教材要求；
4．解答填空题平均每小题3分钟，解题时间应控制在12分钟左右．
总之，解填空题的基本原则是“小题小做”，要“准”、“活”、“灵”、“快”．
【典型例题】
（一）直接法
直接法求解就是从题设条件出发，运用定义、定理、公式、性质、法则等知识，通过变形、推理、计算等，得出正确的结论．
例1、不等式的解集是：
【解析】当时，原不等式等价于，
∴，此时应有：；
当时，原不等式等价于，
∴，此时应有：；
∴不等式的解集是：．
例2、在等差数列中，，则数列的前n项和Sn的最小值为：
【解析】设公差为d，则，
∴，∴数列为递增数列，
令，∴，∴，
∵，∴，∴前6项和均为负值，
∴Sn的最小值为．
【题后反思】
由于填空题不需要解题材过程，因此可以透过现象看本质，自觉地、有意识地采用灵活、简洁的解法，省去某些步骤，大跨度前进，也可配合心算、速算、力求快速，辟免“小题大做”．
（二）特殊值法
当填空结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，我们只需把题材中的参变量用特殊值代替之，即可得到结论．
例3、函数在（0，2）上是一增函数，函数是偶函数，则的大小关系为： （用“<”号连接）
【解析】取，则，
例4、椭圆的焦点为，点P为其上的动点，当为钝角时，点P横坐标的取值范围是：
【解析】设P(x,y)，则当时，点P的轨迹方程为，由此可得点P的横坐标，又当点P在x轴上时，；点P在y轴上时，为钝角，由此可得点P横坐标的取值范围是：．
【题后反思】
特殊值法一般可取特殊值、特殊函数、特殊角、特殊数列、图形的特殊位置、特殊性点、特殊方程、特殊模型等．
（三）数形结合法
根据题目条件，画出符合题意的图形，以形助数，通过对图形的直观分析、判断，往往可以简捷地得出正确的结果，它既是方法，也是技巧，更是基本的数学思想．
例5、已知直线与函数的图像有两个
不同的交点，则实数m的取值范围是： ．
【解析】∵函数的图像如图所示，
∴由图可知：．
例6、设函数，若当时，可取得极大值；当时，可取得极小值，则的取值范围是：
【解析】，由条件知，的一个
根在（0，1）上，另一个根在（1，2）上，
∴，即
如图所示，在平面直角坐标系xOy中作出上述区域，得点P（a，b）在图中的阴影区域内，而的几何意义是过两点P（a，b）与A（1，2）的直线的斜率，易知．
【题后反思】
数形结合法，常用的有Venn图，三角函数线，函数图像及方程的曲线等，另一面，有些图形问题转化为数量关系，如直线垂直可转化为斜率关系或向量积等．
（四）等价转化法
通过“化复杂为简单，化陌生为熟悉”将问题等价转化为便于解决的问题，从而等到正确的结果．
例7、若不论k为何实数，直线与圆恒有交点，则实数a的取值范围是：
【解析】题设条件等价于直线上的定点（0，1）在圆内或圆上，或等价于点（0，1）到圆心（a，0）的距离小于或等到于圆的半径，所以
例8、计算
【解析】分别求这两个二重根式的值显然不是那么容易，不妨从整体考虑，通过解方程求之．
设，两边同时立方得：，即：，
∵，∴，即2，因此应填2.
【题后反思】
在研究解决数学问题时，常采用转化的手段将问题向有利于解答的方面转化，从而使问题转化为熟悉的、规范的、甚至模式的问题，把复杂的问题转化为简单的问题．
（五）构造法
根据题设条件与结论的特殊性，构造出一些新的数学形式，并借助于它来认识和解决问题．
例9、如果，那么角的取值范围是： ．
【解析】设函数，则，所以是增函数，由题设，得出，得，所以．
例10、P是正方体ABCD—A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1内任意一点，AP与三条棱AA1，AB1，AD的夹角分别为，则
【解析】如上图，过P作平面PQQ/P/，使它们分别与平面B1C1CB
和平面C1D1DC平行，则构造一个长方体AQ/P/R/—A1QPR，故
．
【题后反思】
凡解题时需要根据题目的具体情况来设计新模式的的问题，通常要用构造法解决．
（六）分析法
根据题设条件的特征进行观察、分析、从而得出正确的结论．
例11、以双曲线的左焦点F和左准线为相应的焦点和准线的椭圆截直线，所得的弦恰好被x轴平分，则k的取值范围是： ．
【解析】双曲线的左焦点为F（-2，0），左准线为，因为椭圆截直线所得的弦恰好被x轴平分，故根据椭圆的对称性，知椭圆的中心即为直线与x轴的交点（），故，得．
例12、（2007福建）某射手射击1次，击中目标的概率为0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：
①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是；③他至少击中目标1次的概率是．
【解析】①第3次击中目标意味着1、2、4次可击中，也可不击中，从而第3次击中目标的概率为；②恰好击中目标3次的概率是独立重复试验，故概率为；③运用对立事件4次射击，一次也没有击中的概率为，从而至少击中目标一次的概率为．故正确结论的序号为①、③．
【题后反思】
分析法是解答问题的常用方法，该方法需要我们从题设出发，对条件进行观察、分析，找到相应的解决方法．
（七）归纳法
例13、?蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂
巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂
巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图
有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以
表示第幅图的蜂巢总数.则=_____;=___________.
【解析】找出的关系式
[解析]
【题后反思】
处理“递推型”问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系
（1）先猜后证是一种常见题型；（2）归纳推理的一些常见形式：一是“具有共同特征型”，二是“递推型”，三是“循环型”（周期性）
（八）类比法
例14、已知正三角形内切圆的半径是高的，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是______。
【解析】从方法的类比入手
[解析]原问题的解法为等面积法，即，类比问题的解法应为等体积法， 即正四面体的内切球的半径是高
【题后反思】
（1）不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比。（2）类比推理常见的情形有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；实数集的性质向复数集的性质类比；圆锥曲线间的类比等。
（九）推理法
例15、某校对文明班的评选设计了五个方面的多元评价指标，并通过经验公式样来计算各班的综合得分，S的值越高则评价效果越好，若某班在自测过程中各项指标显示出，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S的值增加最多，那么该指标应为 。（填入中的某个字母）
【解析】从分式的性质中寻找S值的变化规律 。
[解析] 因都为正数，故分子越大或分母越小时， S的值越大，而在分子都增加1的前提下，分母越小时，S的值增长越多，，所以c增大1个单位会使得S的值增加最多。
【题后反思】
此题的大前提是隐含的，需要经过思考才能得到。
【模拟演练】
（1）已知函数在上单调递减，在上单调递增，且的导数记为，则下列结论中，正确的是：
①是方程的根； ②1是方程的根； ③有极小值；
④有极大值； ⑤
（2）设m、n是异面直线，则：①一定存在平面，使且；②一定存在平面，使且；③一定存在平面，使m、n到的距离相等；④一定存在无数对平面和，使．上述四个命题中，正确命题的序号是： ．
（3）是虚单位， （用的形式表示）
（4）设，则的大小关系是： ．
（5）“x、y中至少有一个小于0”是“”的 条件．
（6）若记符号“*”表示求两个实数a与b的算术平均数的运算，即，则两边均含有运算符号“*”和“+”，且对于任意3个实数a、b、c都能成立的一个等式可以是： ．
（7）设椭圆的右焦点为F1，右准线为，若过F1且垂直于x轴的弦长等于点F1到直线的距离，则椭圆的离心率是： ．
（8）设，，其中为互相垂直的单位向量，又，则实数m= ．
（9）如果函数对任意实数t，都有，那么的大小关系是：
（10）过抛物线的焦点F作一直线与抛物线交于P、Q两点，若线段PF、FQ的长分别为p、q，则 ．
（11）椭圆的长轴的两端点为M、N，点P在椭圆上，则PM与PN的斜率之积为： ．
（12）方程的实数解的个数是： ．
（13）不等式的解集为（4，b），则a= ，b= ；
（14）已知函数在（-3，3）上的最大值与最小值分别为M、m，
则M+m= ．
（15）已知集合，，如果，则实数m的取值范围是： ．
（16）定义在R上的函数是奇函数，且满足，则 ．
（17）设F1，F2是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上且，则的面积是： ．
（18）在数列中，若，则该数列的通项 ．
答案：
（1）①②③④⑤；（2）①③④；（3）；（4）；（5）必要不充分；
（6）（答案不唯一）； （7）； （8）-2； （9）； （10）4a； (11)； （12）3； （13）； （14）16； （15）； （16）0； （17）1； （18） ．
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