2012届高考数学二轮复习
专题七 解析几何
【重点知识回顾】
解析几何是高中数学的重要内容之一，各地区在这一部分的出题情况较为相似，一般两道小题一道大题，分值约占15%，即22分左右.具体分配为：直线和圆以及圆锥曲线的基础知识两个容易或中档小题，机动灵活，考查双基；解答题难度设置在中等或以上，一般都有较高的区分度，主要考查解析几何的本质——“几何图形代数化与代数结果几何化”以及分析问题解决问题的能力.
解析几何的主要内容是高二中的直线与方程，圆与方程，圆锥曲线与方程考查的重点：直线的倾斜角与斜率、点到直线的距离、两条直线平行与垂直关系的判定、直线和圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系；圆锥曲线的定义、标准方程、简单的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系、曲线与方程、圆锥曲线的简单应用等，其中以直线与圆锥曲线的位置关系最为重要。
圆锥曲线方程这章扩展开的内容比较多，比较繁杂，对学生来说不一定要把所有的结论一一记住，关键是掌握圆锥曲线的概念实质以及直线和圆锥曲线的关系.因此，在复习过程中要注意下述几个问题：
（1）在解答有关圆锥曲线问题时，首先要考虑圆锥曲线焦点的位置，对于抛物线还应同时注意开口方向，这是减少或避免错误的一个关键，同时勿忘用定义解题.
（2）在考查直线和圆锥曲线的位置关系或两圆锥曲线的位置关系时，可以利用方程组消元后得到二次方程，用判别式进行判.但对直线与抛物线的对称轴平行时，直线与双曲线的渐近线平行时，不能使用判别式，为避免繁琐运算并准确判断特殊情况，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.画出方程所表示的曲线，通过图形求解.当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.
（3）求圆锥曲线方程通常使用待定系数法，若能据条件发现符合圆锥曲线定义时，则用定义求圆锥曲线方程非常简捷.在处理与圆锥曲线的焦点、准线有关问题，也可反用圆锥曲线定义简化运算或证明过程. 一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤.
定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置；
定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1(m＞0,n＞0)；
定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小.
（4）在解与焦点三角形（椭圆、双曲线上任一点与两焦点构成的三角形称为焦点三角形）有关的命题时，一般需使用正余弦定理、和分比定理及圆锥曲线定义.
（5）要熟练掌握一元二次方程根的判别式和韦达定理在求弦长、中点弦、定比分点弦、弦对定点张直角等方面的应用.
（6）求动点轨迹方程是解析几何的重点内容之一，它是各种知识的综合运用，具有较大的灵活性，求动点轨迹方程的实质是将“曲线”化成“方程”，将“形”化成“数”，使我们通过对方程的研究来认识曲线的性质. 求动点轨迹方程的常用方法有：直接法、定义法、几何法、代入转移法、参数法、交轨法等.解题时，注意求轨迹的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围.
【典型例题】
1.直线的基本问题：直线的方程几种形式、直线的斜率、两条直线平行与垂直的条件、两直线交点、点到直线的距离。
例 1 已知与，若两直线平行，则的值为 ．
解析： ．
点评：解决两直线平行问题时要记住看看是不是重合．
易错指导：不知道两直线平行的条件、不注意检验两直线是否重合是本题容易出错的地方。
例2 经过圆的圆心，且与直线垂直的直线方程是 ．
解析：圆心坐标是，所求直线的斜率是，故所求的直线方程是，即
点评：本题考查解析几何初步的基本知识，涉及到求一般方程下的圆心坐标，两直线垂直的条件，直线的点斜式方程，题目简单，但交汇性很强，非常符合在知识网络的交汇处设计试题的命题原则，一个小题就把解析几何初步中直线和圆的基本知识考查的淋漓尽致
易错指导：基础知识不牢固，如把圆心坐标求错，不知道两直线垂直的条件，或是运算变形不细心，都可能导致得出错误的结果
2.圆的基本问题：圆的标准方程和一般方程、两圆位置关系.
例3 已知圆的方程为．设该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
解析：圆心坐标是，半径是，圆心到点的距离为，根据题意最短弦和最长弦（即圆的直径）垂直，故最短弦的长为，所以四边形的面积为
点评：本题考查圆、平面图形的面积等基础知识，考查逻辑推理、运算求解等能力。解题的关键有二，一是通过推理知道两条弦互相垂直并且有一条为圆的直径，二是能根据根据面积分割的道理，推出这个四边形的面积就是两条对角线之积的一半。本题是一道以分析问题解决问题的能力立意设计的试题。
易错指导：逻辑思维能力欠缺，不能找到解题的关键点，或是运算能力欠缺，运算失误，是本题不能解答或解答错误的主要原因
3.圆锥曲线的基本问题：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及其性质，求简单的曲线方程.
例4已知点P在抛物线y2 = 4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（ ）
A. （，－1） B. （，1） C. （1，2） D. （1，－2）
解析：定点在抛物线内部，由抛物线的定义，动点到抛物线焦点的距离等于它到准线的距离，问题转化为当点到点和抛物线的准线距离之和最小时，求点的坐标，显然点是直线和抛物线的交点，解得这个点的坐标是。
点评：本题考查抛物线的定义和数形结合解决问题的思想方法类似的题目在过去的高考中比较常见
易错指导：不能通过草图和简单的计算确定点和抛物线的位置关系，不能将抛物线上的点到焦点的距离转化为其到准线的距离，是解错本题或不能解答本题的原因
例5已知圆．以圆与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 ．
解析： 圆和轴的交点是，和轴没有交点。故只能是点为双曲线的一个顶点，即；点为双曲线的一个焦点，即。，所以所求双曲线的标准方程为。
点评：本题考查圆和双曲线的基础知识，考查数形结合的数学思想。解题的关键是确定所求双曲线的焦点和顶点坐标
易错指导：数形结合的思想意识薄弱，求错圆与坐标轴的交点坐标，用错双曲线中的关系等，是不同出错的主要问题
4.直线与圆锥曲线的位置关系
例6若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴相切，则该圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
解析：设圆心坐标为，则且.又，故，由得（圆心在第一象限、舍去）或，故所求圆的标准方程是。
点评：本题考查直线和圆的有关基础知识，考查坐标法的思想，考查运算能力。解题的关键是圆心坐标
易错指导：不能把直线与圆相切的几何条件通过坐标的思想转化为代数条件，或是运算求解失误等
例7 （过双曲线的右顶点为A，右焦点为F。过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为______________
解析：双曲线右顶点，右焦点，双曲线一条渐近线的斜率是，直线的方程是，与双曲线方程联立解得点的纵坐标为，故△AFB的面积为
点评：本题考查双曲线的基础知识和运算能力。
易错指导：过右焦点和渐近线平行的直线和双曲线只有一个交点，如果写错渐近线的方程，就会解出两个交点，不但增加了运算量，还使结果错误。
例8 在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为，以为圆心，为半径的圆做圆，若过点，所作圆的两切线互相垂直，则该椭圆的离心率为
解析：过点作圆的两切线互相垂直，如图，这说明四边形是一个正方形，即圆心到点的距离等于圆的半径的倍，即，故
点评：本题把椭圆方程、圆和圆的切线结合起来，考查椭圆的简单几何性质，体现了“在知识的网络交汇处设计试题”的原则，较全面地考查了解析几何的基本知识。解题的突破口是将圆的两条切线互相垂直转化为一个数量上的关系。
易错指导：陷入圆的两条切线互相垂直，不能通过数形结合的方法找到解题途径等，是考生解错本题的主要原因。
例9设，椭圆方程为，
抛物线方程为．如图4所示，过点作轴的平行线，
与抛物线在第一象限的交点为，已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点．
（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
（2）设分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．
解析：（1）由得，
当得，G点的坐标为，，，
过点G的切线方程为即，
令得，点的坐标为，由椭圆方程得点的坐标为，
即，
即椭圆和抛物线的方程分别为和；
（2）过作轴的垂线与抛物线只有一个交点,以为直角的只有一个，同理以为直角的只有一个
若以为直角，设点坐标为，
、两点的坐标分别为和，
。
关于的二次方程有一大于零的解，有两解，即以为直角的有两个，因此抛物线上存在四个点使得为直角三角形。
点评：本题考查椭圆和抛物线方程的求法、抛物线的切线方程的求法、存在性问题的解决方法、分析问题解决问题的能力，是一道几乎网罗了平面解析几何的所有知识点并且和导数的应用交汇在一起的综合性试题，是一道“在知识网络的交汇处”设计的典型试题。
易错指导：本题把抛物线和椭圆结合在一起，题目的条件里还有两条直线，考生在心理上畏惧，可能出现的问题是思维混乱，理不清题目中错综复杂的关系，找不到正确的解题思路；在解决第二问时缺乏分类讨论的思想意识产生漏解等
【模拟演练】
一、选择
1.下列各组直线中，两条直线互相平行的是 （ ）
A.与 B.与
C.与 D.与
2. 直线绕原点按顺时针方向旋转30°所得直线与圆的位置关系是（ ）.
A．直线与圆相切 B．直线与圆相交但不过圆心
C．直线与圆相离 D．直线过圆心
2.A解析：由得，所以，
即，倾斜角为．从而所求直线倾斜角为，斜率，直线，即．此时，所以直线与圆相切．
3.双曲线的右焦点为，右准线与一条渐近线交于点，的
面积为，则两条渐近线的夹角为 （ ）
A． B． C． D．
5、已知A、B、C三点在曲线y=上，其横坐标依次为1，m,4(1＜m＜4)，当△ABC的面积最大时，m等于( )
A.3 B. C. D.
6.已知双曲线的两个焦点为、，是此双曲线上的一点，且满足，，则该双曲线的方程是 （ ）
A． B． C． D．
7. 已知点F是双曲线的左右焦点，以为一边的等边三角形与双曲线的两交点恰为等边三角形两边中点，则双曲线离心率（ ）.
A． B． C． D．
8.已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则点坐标为 ( )
Ａ.或 Ｂ.或
Ｃ. 或 Ｄ.或
10. 设经过椭圆上的任意两点的连线的垂直平分线与轴交点的横坐标为，则（ ）
A. B. C. D.
12、
二、填空
14.直线与中心在原点，焦点在轴上，实轴长为，离心率为的双曲线交于两点，若的中点为，则直线的方程是 ．
16.（原专题六第16）
19.已知以点为圆心的圆经过点和，线段的垂直平分线交圆于点和，且.
(1)求直线的方程；
(2)求圆的方程；
(3)设点在圆上，试问使△的面积等于8的点共有几个？证明你的结论.
20.直线与双曲线的右支交于不同两点，（1）求实数的取值范围；（2）是否存在实数，使得以线段为直径的圆经过双曲线右焦点？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
21.已知点、的坐标分别是、，直线、相交于点，且它们的斜率之积为。
（1）求证：点的轨迹在一个椭圆上，并写出椭圆的方程；
（2）设过原点的直线交（1）中的椭圆于点、，定点的坐标为，试
求面积的最大值，并求此时直线的斜率；
22.已知点A（－1，0），B（1，－1）和抛物线.，O为坐标原点，过点A的动
直线l交抛物线C于M、P，直线MB交抛物线C于另一点Q，如图.
（I）证明: 为定值;
（II）若△POM的面积为，求向量与的夹角；
(Ⅲ) 证明直线PQ恒过一个定点.
专题训练答案
1.B解析：将以上各式转化为斜截式，A.与，斜率不相同；
B.与斜率相同，截矩不相同；
C.与斜率相同，截矩相同；
D.与斜率不相同.故选B.
3.A解析：设坐标为根据右准线与一条渐近线交于点，可得，因此点坐标为，因此的面积为，得，因此两条渐近线的夹角为..
5、B解析：由题意知A(1，1)，B(m,),C(4,2).直线AC所在方程为x－3y+2=0,
点B到该直线的距离为d=.
∵m∈(1,4),∴当时，S△ABC有最大值，此时m=.
6.D解析：根据得，因此，解之得或，因此则该双曲线的方程是.
7.A解析.要求双曲线的离心率就需要构造特征量之间的关系，注意到双曲线与等边三角形的交点在双曲线上，且三边反映了特征量之间的关系，可以构造三角形求解.因此连接,在中，
.
8、解析：∵抛物线的焦点为，准线为 ∴
设，过点向准线作垂线，则
∵，又
∴由得，即，解得选B.
10、解析：设此两点分别为的中点为则有① ② ①－②得：，再根据垂直两直线的斜率之积等于-1，故可知AB的中垂线的方程为：，
令 选A.
12、
14.解析：根据题意，故，故双曲线方程为，设，则，，两式相减得
，由，
故，故直线的方程是，即．
19、解：⑴直线的斜率 ，中点坐标为 ，
∴直线方程为 .
⑵设圆心，则由在上得： ①
又直径,,，又
∴ ②
由①②解得或
∴圆心 或
∴圆的方程为 或.
⑶ ，
∴ 当△面积为时 ，点到直线的距离为 . 又圆心到直线的距离为，圆的半径 且
∴圆上共有两个点使 △的面积为.
20、解：（1）将直线的方程代入双曲线的方程后，
整理得：---①，
依题意，直线与双曲线的右支交于不同两点，
∴，
解得的取值范围是，
（2）设两点的坐标分别是，则由①式得----②，
假设存在实数使得以线段为直径的圆经过双曲线右焦点，
则由得，
即------③，
整理得：，
把②式及代入③式化简得，解得或，又不符合，所以舍去.
可知可使得以线段AB为直径的圆过双曲线的右焦点.
21、解：（1）设为轨迹上的动点，由题意
即，点的轨迹在椭圆上；
（2）（Ⅰ）当直线垂直于轴时，，此时
（Ⅱ）当直线不垂直于轴时，设该直线方程为，代入椭圆中
得：、两点的坐标为：，
则
又点到直线的距离，
由，得，等号成立时
综上，的最大值是，此时
22、解：（I）设点、M、A三点共线，
(II)设∠POM=α，则
由此可得tanα=1
又
(Ⅲ)设点、B、Q三点共线，
即
即
即
即
由（*）式，代入上式，得
由此可知直线PQ过定点.
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