2012届高考数学二轮复习
专题十：选择题的解题方法与技巧
【重点知识回顾】
高考数学选择题占总分值的．
其解答特点是“四选一”，快速、准确、无误地选择好这个“一”是十分重要的．
选择题和其它题型相比，解题思路和方法有着一定的区别，产生这种现象的原因在于选择题有着与其它题型明显不同的特点：①立意新颖、构思精巧、迷惑性强、题材内容相关相近，真假难分；②技巧性高、灵活性大、概念性强、题材内容储蓄多变、解法奇特；③知识面广、跨度较大、切入点多、综合性强．
正因为这些特点，使得选择题还具有区别与其它题型的考查功能：①能在较大的知识范围内，实现对基础知识、基本技能和基本思想方法的考查；②能比较确切地考查考生对概念、原理、性质、法则、定理和公式的掌握和理解情况；③在一定程度上，能有效地考查逻辑思维能力，运算能力、空间想象能力及灵活和综合地运用数学知识解决问题的能力．
【典型例题】
（一）直接法
直接从题目条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密的推理和准确的运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选择支“对号入座”作出相应的选择、涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法．
例1、关于函数，看下面四个结论：
①是奇函数；②当时，恒成立；③的最大值是；④的最小值是．其中正确结论的个数为：
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】，
∴为偶函数，结论①错；对于结论②，当时，，
∴，结论②错．
又∵，∴，从而，结论③错．
中，，∴，
等号当且仅当x=0时成立，可知结论④正确．
【题后反思】
直接法是解答选择题最常用的基本方法，低档选择题可用此法迅速求解，直接法运用的范围很广，只要运算正确必能得到正确的答案，提高直接法解选择题的能力，准确地把握中档题的“个性”，用简便方法巧解选择题，是建在扎实掌握“三基”的基础上的，否则一味求快则会快中出错．
（二）排除法
排除法也叫筛选法或淘汰法，使用排除法的前提条件是答案唯一，具体的做法是采用简捷有效的手段对各个备选答案进行“筛选”，将其中与题干相矛盾的干扰支逐一排除，从而获得正确结论．
例2、直线与圆的图象可能是：
A． B． C． D．
【解析】由圆的方程知圆必过原点，∴排除A、C选项，圆心（a，-b）,
由B、D两图知．直线方程可化为，可知应选B．
【题后反思】
用排除法解选择题的一般规律是：
（1）对于干扰支易于淘汰的选择题，可采用筛选法，能剔除几个就先剔除几个；
（2）允许使用题干中的部分条件淘汰选择支；
（3）如果选择支中存在等效命题，那么根据规定---答案唯一，等效命题应该同时排除；
（4）如果选择支存在两个相反的，或互不相容的判断，那么其中至少有一个是假的；
（5）如果选择支之间存在包含关系，必须根据题意才能判定．
（三）特例法
特例法也称特值法、特形法．
就是运用满足题设条件的某些特殊值、特殊关系或特殊图形对选项进行检验或推理，从而得到正确选项的方法，常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．
例3、设函数，若，则的取值范围为：
A．（-1，1） B．（） C． D．
【解析】∵，∴不符合题意，∴排除选项A、B、C，故应选D．
例4、已知函数的图像如图所示，则b的取值范围是：
A． B．
C．（1，2） D．
【解析】设函数，
此时．
【题后反思】
这类题目若是脚踏实地地求解，不仅运算量大，而且极易出错，而通过选择特殊点进行运算，既快又准，但要特别注意，所选的特殊值必须满足已知条件．
（四）验证法
又叫代入法，就是将各个选择项逐一代入题设进行检验，从而获得正确的判断，即将各个选择支分别作为条件，去验证命题，能使命题成立的选择支就是应选的答案．
例5、在下列四个函数中，满足性质：“对于区间（1，2）上的任意，恒成立”的只有：
A． B． C． D．
【解析】当时，，所以恒成立，
故选A．
例6、若圆上恰有相异两点到直线的距离等于1，则r的取值范围是：
A．[4，6] B． C． D．
【解析】圆心到直线的距离为5，则当时，圆上只有一个点到直线的距离为1，当时，圆上有三个点到直线的距离等于1，故应选D．
【题后反思】
代入验证法适用于题设复杂、结论简单的选择题，这里选择把选项代入验证，若第一个恰好满足题意就没有必要继续验证了，大大提高了解题速度．
（五）数形结合法
“数缺形时少直观，形少数时难入微”，对于一些具体几何背景的数学题，如能构造出与之相应的图形进行分析，则能在数形结合，以形助数中获得形象直观的解法．
例7、若函数满足，且时，，则函数的图像与函数的图像的交点个数为：
A．2 B．3 C．4 D．无数个
【解析】由已知条件可做出函数及
的图像，如下图，由图像可得其交点的个数为4个，
故应选C．
例8、设函数，若若，则的取值范围为：
A．（-1，1） B．
C．（） D．
【解析】在同一直角坐标系中，做出函数
和直线x=1的图像，它们相交于（-1，1）和
（1，1）两点，则，得，故选D．
【题后反思】
严格地说，图解法并非属于选择题解题思路范畴，而是一种数形结合的解题策略，但它在解有关选择题时非常简便有效，不过运用图解法解题一定要对有关函数图象、方程曲线、几何图形较熟悉，否则错误的图像反会导致错误的选择．
（六）逻辑分析法
分析法就是根据结论的要求，通过对题干和选择支的关系进行观察分析、寻求充分条件，发现规律，从而做出正确判断的一种方法，分析法可分为定性分析法和定量分析法．
例9、若定义在区间（-1，0）内的函数满足，则a的取值范围是：
A． B． C． D．
【解析】要使成立，只要2a和x+1同时大于1或同时小于1成立，当时，，则，故选A．
例10、用n个不同的实数可得个不同的排列，每个排列为一行写成一个行的矩阵，对第i行，记，
（）例如用1、2、3排数阵如图所示，由于此数阵中每一列各
数之和都是12，所以，那么用1，
2，3，4，5形成的数阵中，
A．-3600 B．1800 C．-1080 D．-720
【解析】时，，每一列之和为，，
时，，每一列之和为，，故选C．
【题后反思】
分析法实际是一种综合法，它要求在解题的过程中必须保持和平的心态、仔细、认真的去分析、学习、掌握、验证学习的结果，再运用所学的知识解题，对考察学生的学习能力要求较高．
（七）极端值法
从有限到无限，从近似到精确，从量变到质变，应用极端值法解决某些问题，可以避开抽象、复杂的运算，隆低难度，优化解题过程．
例11、对任意都有：
A． B．
C． D．
【解析】当时，，，故排除A、B，
当时，，，故排除C，因此选D．
例12、设，且，则
A． B．
C． D．
【解析】∵，∵令，则，
易知：，故应选A．
【题后反思】
有一类比较大小的问题，使用常规方法难以奏效（或过于繁杂），又无特殊值可取，在这种情况下，取极限往往会收到意想不到的效果．
（八）估值法
由于选择题提供了唯一正确的选择支，解答又无需过程，因此可通过猜测、合情推理、估算而获得答案，这样往往可以减少运算量，避免“小题大做”．
例13、如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF//AB，，EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积为：
A． B．5 C．6 D．
【解析】由已知条件可知，EF//面ABCD，则F到平面ABCD
的距离为2，∴，而该多面体的体积必大于6，故选D．
例14、已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面面积是：
A． B． C． D．
【解析】设球的半径为R，的外接圆半径，则，故选D．
【题后反思】
有些问题，由于受条件限制，无法（有时也没有必要）进行精确的运算和判断，而又能依赖于估算，估算实质上是一种数字意义，它以正确的算理为基础，通过合理的观察、比较、判断、推理，从而做出正确的判断、估算、省去了很多推导过程和比较复杂的计算，节省了时间，从而显得快捷．其应用广泛，它是人们发现问题、研究问题、解决问题的一种重要的运算方法．
（九）割补法
“级割善补”是解决几何问题常用的方法，巧妙地利用割补法，可以将不规则的图形转化为规则的图形，这样可以使问题得到简化，从而缩短解题时间．
例15、一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一
球面上，则此球的表面积为：
A． B． C． D．
【解析】如图，将正四面体ABCD补成正方体，则正四面体、正方体的中心与其外接球的球心共一面，因为正四面体棱长为，所以正方体棱长为1，从而外接球半径，故，选A．
【题后反思】
“割”即化整为零，各个击破，将不易求解的问题，转化为易于求解的问题；“补”即代分散不集中，着眼整体，补成一个“规则图形”来解决问题，当我们遇到不规则的几何图形或几何体时，自然要想到“割补法”．
【模拟演练】
（1）已知是锐角，且，则的取值范围是：
A． B． C． D．
（2）（2007，安徽高考）若，，则A交B补中元素的个数为：
A．0 B．1 C．2 D．3
（3）（2007，山东高考）已知集合，，则
A． B． C． D．
（4）过原点的直线与圆相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是：
A． B． C． D．
（5）如果n是正偶数，则
A． B． C． D．
（6）函数，则区间[a，b]上是增函数，且，则函数在[a，b]上是：
A．增函数 B．减函数 C．有最大值M D．有最小值—M
（7）函数的最小正周期是：
A． B． C．2 D．4
（8）过点A（1，-1），B（-1，1）且圆心在直线上的圆的方程是：
A． B．
C． D．
（9）定义在上的奇函数，在上为增函数，当时，的图像如下图所示，则不等式的解集是：
A． B．
C． D．
（10）函数的图像与函数的图像交点的个数为：
A．1 B．2 C．3 D．4
（11）如下图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且均为正三角形，EF//AB，EF=2，则该多面体的体积为：
A． B． C． D．
（12）如下图，直三棱柱ABC—A1B1C1的体积为V，P、
Q分别为侧棱AA1、和CC1上的点，且AP=C1Q，则四棱
锥B—A1PQC的体积为：
A． B． C． D．
（13）如右图所示，在正方体AC1中，
E为AD的中点，O为侧面AA1B1B
的中心，F为CC1上任意一点，则
异面直线OF与BE所成的角是：
A． B． C． D．
（14）要得到函数的图像，只需把函数的图像：
A．向右平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向左平移个单位
（15）函数的定义域为[a，b]，值域为[0，2]，则区间[a，b]的长度b-a的最小值是： A．2 B． C．3 D．
（16）已知函数，正实数a，b，c满足，若实数d是函数的一个零点，那么下列四个判断：①db；③dc，其中可能成立的个数为：
A．1 B．2 C．3 D．4
（17）设函数，则使得成立的m的取值为：
A．10 B．0，-1 C．0，-2，10 D．1，-1，11
（18）已知点P是椭圆上的动点，F1，F2分别为椭圆的左右焦点，O为坐标原点，则的取值范围是：
A． B． C． D．
答案：（1）D （2）C （3）B （4）C （5）B （6）C （7）B （8）C （9）A
（10）C （11）A （12）B （13）D （14）C （15）D （16）B （17）D （18）D
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