15．圆锥曲线与方程
【专题要点】高考资源网
1．考查圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质等知识及基本技能、基本方法，常以选择题与填空题的形式出现.高考资源网
2．直线与二次曲线的位置关系、圆锥曲线的综合问题:常以压轴题的形式出现，这类问题视角新颖，常见的性质、基本概念、基础知识等被附以新的背景，以考查学生的应变能力和解决问题的灵活程度.
3．在考查基础知识的基础上，注意对数学思想与方法的考查，注重对数学能力的考查，强调探究性、综合性、应用性，注重试题的层次性，坚持多角度、多层次的考查，合理调控综合程度.
4．对称问题、轨迹问题、多变量的范围问题、位置问题及最值问题也是本章的几个热点问题，但从最近几年的高考试题本看，难度有所降低，有逐步趋向稳定的趋势.
【考纲要求】
（1）圆锥曲线
① 了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
② 掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.
③ 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质.
④ 了解圆锥曲线的简单应用.
⑤ 理解数形结合的思想.
（2）曲线与方程高考资源网
了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.
【知识纵横】
【教法指引】
高考试题中，解析几何试题的分值一般占20％左右，而圆锥曲线的内容在试卷中所占比例又一直稳定在14％左右，选择、填空、解答三种题型均有．选择、填空题主要考查圆锥曲线的标准方程及几何性质等基础知识、基本技能和基本方法的运用；以圆锥曲线为载体的解答题设计中，重点是求曲线的方程和直线与圆锥曲线的位置关系讨论，它们是热中之热．解答题的题型设计主要有三类：高考资源网
圆锥曲线的有关元素计算．关系证明或范围的确定；
涉及与圆锥曲线平移与对称变换、最值或位置关系的问题；
求平面曲线（整体或部分）的方程或轨迹．
近年来，高考中解析几何综合题的难度有所下降．随着高考的逐步完善，结合上述考题特点分析，预测今后高考的命题趋势是：将加强对于圆锥曲线的基本概念和性质的考查，加强对于分析和解决问题能力的考查．因此，教学中要注重对圆锥曲线定义、性质、以及圆锥曲线基本量之间关系的掌握和灵活应用．
高考第二阶段的复习，应在继续作好知识结构调整的同时，抓好数学基本思想、数学基本方法的提炼，进行专题复习；做好“五个转化”，即从单一到综合、从分割到整体、从记忆到应用、从慢速摸仿到快速灵活、从纵向知识到横向方法.这一复习过程，要充分体现分类指导、分类要求的原则，内容的选取一定要有明确的目的性和针对性，要充分发挥教师的创造性，更要充分考虑学生的实际，要密切注意学生的信息反馈，防止过分拔高，加重负担.因此，在圆锥曲线这一章的复习中，设计了分类复习、分层复习、层层递进的复习步骤.
【典例精析】
1.圆锥曲线概念、性质类问题高考资源网
例1.（2009广东，11）．巳知椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为，且上一点到的两个焦点的距离之和为12，则椭圆的方程为 ．
【解析】，，，，则所求椭圆方程为.
例2.（2009江苏13．）如图，在平面直角坐标系中，为椭圆
的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为 .
【解析】 考查椭圆的基本性质，如顶点、焦点坐标，离心率的计算等。以及直线的方程
直线的方程为：；
直线的方程为：。二者联立解得：，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
则在椭圆上，
，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
解得：
例3.（2009辽宁，16）。以知F是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 高考资源网
【答案】9
【解析】注意到P点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为F’(4,0),
于是由双曲线性质|PF|－|PF’|＝2a＝4，而|PA|＋|PF’|≥|AF’|＝5，
两式相加得|PF|＋|PA|≥9,当且仅当A、P、F’三点共线时等号成立.
点评: 在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清是整条双曲线，还是双曲线的一支。
例4.（2009福建13）.过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则________________ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
【解析】由题意可知过焦点的直线方程为，
联立有，根据，得
2.与圆锥曲线有关的轨迹类问题高考资源网
解析几何主要研究两大类问题：一是根据题设条件，求出表示平面曲线的方程；二是通过方程，研究平面曲线的性质．求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点.解答轨迹问题时，若能充分挖掘几何关系，则往往可以简化解题过程．
例5．（1）一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。
（2）双曲线有动点，是曲线的两个焦点，求的重心的轨迹方程。
解析：（1）（法一）设动圆圆心为，半径为，设已知圆的圆心分别为、，
将圆方程分别配方得：，，
当与相切时，有 ①
当与相切时，有 ②
将①②两式的两边分别相加，得，
即 ③
移项再两边分别平方得：
④
两边再平方得：，
整理得，
所以，动圆圆心的轨迹方程是，轨迹是椭圆。
（法二）由解法一可得方程，
由以上方程知，动圆圆心到点和的距离和是常数，所以点的轨迹是焦点为、，长轴长等于的椭圆，并且椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，
∴，，∴，，高考资源网
∴，
∴圆心轨迹方程为。
（2）如图，设点坐标各为，∴在已知双曲线方程中，∴
∴已知双曲线两焦点为，
∵存在，∴
由三角形重心坐标公式有，即 。
∵，∴。
已知点在双曲线上，将上面结果代入已知曲线方程，有
即所求重心的轨迹方程为：
点评：定义法求轨迹方程的一般方法、步骤；“转移法”求轨迹方程的方法。
例6(2009广东卷理）已知曲线与直线交于两点和，且．记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域（含边界）为．设点是上的任一点，且点与点和点均不重合．
（1）若点是线段的中点，试求线段的中点的轨迹方程；
（2）若曲线与有公共点，试求的最小值．
解：（1）联立与得，则中点，设线段的中点坐标为，则，即，又点在曲线上，
∴化简可得，又点是上的任一点，且不与点和点重合，则，即，∴中点的轨迹方程为（）.
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（2）曲线，
即圆：，其圆心坐标为，半径高考资源网
由图可知，当时，曲线与点有公共点；
当时，要使曲线与点有公共点，只需圆心到直线的距离，得，则的最小值为.
3.直线和圆锥曲线关系类问题
直线与圆锥曲线的位置关系，是高考考查的重中之重，在高考中多以高档题、压轴题出现.主要涉及弦长、弦中点、对称、参量的取值范围、求曲线方程等问题.解题中要充分重视韦达定理和判别式的应用，解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能.
例7.（2009全国卷Ⅱ 9.） 已知直线与抛物线相交于两点，为的焦点，若，则
A. B. C. D. 高考资源网
【解析一】设抛物线的准线为直线 恒过定点P .如图过分 别作于,于, 由,则,点B为AP的中点.连结,则, 点的横坐标为, 故点的坐标为, 故选D
【解析二】设，
，，得。
根据焦半径公式，，，得。
求得，将其代入中得，故选D。
例8（2009天津卷理）以知椭圆的两个焦点分别为，过点的直线与椭圆相交与两点，且
求椭圆的离心率；
求直线AB的斜率；
设点C与点A关于坐标原点对称，直线上有一点在的外接圆上，求的值
本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算能力和推理能力.
解：由//且，得，从而
整理，得，故离心率
解：由（I）得，所以椭圆的方程可写为
设直线AB的方程为，即.
由已知设，则它们的坐标满足方程组
消去y整理，得.
依题意，高考资源网
而 ①
②
由题设知，点B为线段AE的中点，所以
③
联立①③解得， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
将代入②中，解得.
(III)解法一：由（II）可知
当时，得，由已知得.
线段的垂直平分线l的方程为直线l与x轴
的交点是外接圆的圆心，因此外接圆的方程为.
直线的方程为，于是点H（m，n）的坐标满足方程组
， 由解得故
当时，同理可得.
解法二：由（II）可知高考资源网
当时，得,由已知得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
由椭圆的对称性可知B，，C三点共线，因为点H（m，n）在的外接圆上，
且，所以四边形为等腰梯形.
由直线的方程为,知点H的坐标为.
因为，所以，解得m=c（舍），或.
则，所以.
当时同理可得 高考资源网
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