导数及其应用
【学法导航】
导数是高中数学中较为重要的知识，由于其应用的广泛性，为我们解决所学过的有关函数问题提供了一般性方法，是解决实际问题强有力的工具。导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的对象。要牢记导数公式，熟练应用导数公式求函数的导数，掌握求导数的方法。导数的应用是高考考查的重点和难点，题型既有灵活多变的客观性试题，又有具有一定能力要求的主观性试题，这要求我们复习时要掌握基本题型的解法，树立利用导数处理问题的意识． 高考资源网
所以在复习中要重点把握以下几点：一是导数的概念及其运算是导数应用的基础，这是高考重点考查的内容。考查方式以客观题为主，主要考查导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义；二是导数的应用，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题、证明不等式以及讨论方程的根等，已成为高考热点问题．三是应用导数解决实际问题．
【专题综合】
导数是高中数学知识的一个重要的交汇点，命题范围非常广泛，为高考考查函数提供了广阔天地，处于一种特殊的地位，高考命题在利用导数工具研究函数的有关性质，把导数应用于单调性、极值等传统、常规问题的同时，进一步升华到处理与自然数有关的不等式的证明，是函数知识和不等式知识的一个结合体，它的解题又融合了转化、分类讨论、函数与方程、数形结合等数学思想与方法，突出了对能力的考查. 高考资源网
1.利用导数处理方程问题
例1（2009江西卷文）设函数．
（1）对于任意实数，恒成立，求的最大值；
（2）若方程有且仅有一个实根，求的取值范围．
解：(1) ,
因为,, 即 恒成立,
所以 , 得，即的最大值为
(2) 因为 当时, ;当时, ;当时, ;
所以 当时,取极大值 ;
当时,取极小值 ;
故当 或时, 方程仅有一个实根. 解得 或.
2利用导数研究函数的图像变化规律高考资源网
例3(2009陕西卷文）已知函数
求的单调区间；
若在处取得极值，直线y=m与的图象有三个不同的交点，求m的取值范围。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m解析：（1）高考资源网
当时，对，有
当时，的单调增区间为
当时，由解得或；
由解得，
当时，的单调增区间为；的单调减区间为。
（2）因为在处取得极大值，高考资源网
所以
所以
由解得
由（1）中的单调性可知，在处取得极大值，
在处取得极小值
因为直线与函数的图象有三个不同的交点，又，，
结合的单调性可知，的取值范围是
3.利用导数证明不等式
例3(2007年山东卷理)设函数,其中.
(I)当时,判断函数在定义域上的单调性;
(II)求函数的极值点; 高考资源网
(III)证明对任意的正整数,不等式都成立.
解：(I) 函数的定义域为.
，高考资源网
令，则在上递增，在上递减，
. 当时，，
在上恒成立.
即当时,函数在定义域上单调递增。
（II）分以下几种情形讨论：
（1）由（I）知当时函数无极值点.
（2）当时，，
时， 时，
时，函数在上无极值点。
（3）当时，解得两个不同解高考资源网
，.
当时，，，
此时在上有唯一的极小值点.
当时，高考资源网
在都大于0 ，在上小于0 ，
此时有一个极大值点和一个极小值点.
综上可知，时，在上有唯一的极小值点；
时，有一个极大值点和一个极小值点；时，函数在上无极值点
（III） 当时， 高考资源网
令
则在上恒正，
在上单调递增，当时，恒有.
即当时，有，
对任意正整数，取得
点评：函数的单调性、导数的应用、不等式的证明方法。(I)通过判断导函数的正负来确定函数的单调性是是和定义域共同作用的结果；（II）需要分类讨论，由（I）可知分类的标准为（III）构造新函数为证明不等式“服务”，构造函数的依据是不等式关系中隐含的易于判断的函数关系。用导数解决函数的单调性问题一直是各省市高考及各地市高考模拟试题的重点，究其原因，应该有三条：这里是知识的交汇处，这里是导数的主阵地，这里是思维的制高点.此类问题的一般步骤都能掌握，但重要的是求导后的细节问题------参数的取值范围是否影响了函数的单调性？因而需要进行分类讨论判断：当参数给出了明确的取值范围后，应根据导函数的特点迅速判断或。参数取某些特定值时，可直观作出判断，单列为一类；不能作出直观判断的，再分为一类，用通法解决.另外要注意由求得的根不一定就是极值点，需要判断在该点两侧的异号性后才能称为 “极值点”. 高考资源网
例4已知函数，，证明：
证：函数的定义域为．＝－1＝－
当x∈（－1，0）时，＞0，当x∈（0，＋∞）时，＜0，
因此，当时，≤，即≤0∴ ．
令则＝．高考资源网
∴ 当x∈（－1，0）时，＜0，当x∈（0，＋∞）时，＞0．
∴ 当时，≥，即 ≥0，∴ ．
综上可知，当时，有． 高考资源网
通过以上例题，我们可以体会到用导数来证明不等式的基本要领和它的简捷。总之，利用导数证明不等式的关键是“构造函数”，解决问题的依据是函数的单调性，这一方法在高等数学中应用的非常广泛，因此，希望同学门能认真对待，并通过适当的练习掌握它
【专题突破】
1、．以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是（ C ）
A．①、② B．①、③ C．③、④ D．①、④
2、函数是减函数的区间是（ D ）
3、若函数为增函数，则（ D ）
4、上有最大值3，那么在上的最小值是（ C ）
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5. 在高台跳水运动中,t秒时运动员相对于水面的高度为,则运动员在1秒时的瞬时速度为 -3.3m/s ,此时运动状态是 以3.3m/s的速率下降
6.过函数处的切线方程是。
7. 设函数，已知是奇函数。
（Ⅰ）求、的值。（Ⅱ）求的单调区间与极值
解答: （Ⅰ）∵，∴。高考资源网
从而＝是一个奇函数，所以得，由奇函数定义得；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而，由此可知，和是函数是单调递增区间；是函数是单调递减区间；
在时，取得极大值，极大值为，在时，取得极小值，极小值为。
8. 已知函数在与时都取得极值
(1)求的值与函数的单调区间；
(2)若对，不等式恒成立，求的取值范围。高考资源网
解：（1）
由，得
，函数的单调区间如下表：
(
极大值
(
极小值
(
所以函数的递增区间是与,递减区间是；
（2），当时，
为极大值，而，则为最大值，要使
恒成立，则只需要，得。
9. 已知函数
（1）若函数的图象在处的切线方程为，
求的值；
（2）若函数在上是增函数，求的取值范围
解：（1）高考资源网
由题意得：
（2）函数在上是增函数
在上恒成立
在上恒成立高考资源网
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