基本初等函数Ⅱ(三角函数) 【学法导航】高考资源网 三角函数是传统知识内容中变化最大的一部分,新教材处理这一部分内容时有明显的降调倾向,突出正、余弦函数的主体地位,加强了对三角函数的图象与性质的考查,因此三角函数的性质是本章复习的重点。第一轮复习的重点应放在课本知识的重现上,要注重抓基本知识点的落实、基本方法的再认识和基本技能的掌握,力求系统化、条理化和网络化,使之形成比较完整的知识体系;第二、三轮复习以基本综合检测题为载体,综合试题在形式上要贴近高考试题,但不能上难度。当然,这一部分知识最可能出现的是“结合实际,利用少许的三角变换(尤其是余弦的倍角公式和特殊情形下公式的应用)来考查三角函数性质”的命题,因此,建议三角函数的复习应控制在课本知识的范围和难度上,这样就能够适应未来高考命题趋势。总之,三角函数的复习应立足基础、加强训练、综合应用、提高能力 方法技巧: 1.八大基本关系依据它们的结构分为倒数关系、商数关系、平方关系,用三角函数的定义反复证明强化记忆,这是最有效的记忆方法。诱导公式用角度制和弧度制表示都成立,记忆方法可概括为“奇变偶不变,符号看象限”,变与不变是相对于对偶关系的函数而言的 2.三角函数值的符号在求角的三角函数值和三角恒等变换中,显得十分重要,根据三角函数的,可简记为“一全正,二正弦,三两切,四余弦”,其含义是:在第一象限各三角函数值皆为正;在第二象限正弦值为正;在第三象限正余切值为正;在第四象限余弦值为正 3.在利用同角三角函数的基本关系式化简、求值和证明恒等关系时,要注意用是否“同角”来区分和选用公式,注意切化弦、“1”的妙用、方程思想等数学思想方法的运用,在利用诱导公式进行三角式的化简、求值时,要注意正负号的选取 4.求三角函数值域的常用方法:高考资源网 求三角函数值域除了判别式、重要不等式、单调性等方法之外,结合三角函数的特点,还有如下方法: (1)将所给三角函数转化为二次函数,通过配方法求值域; (2)利用的有界性求值域; (3)换元法,利用换元法求三角函数的值域,要注意前后的等价性,不能只注意换元,不注意等价性 5. 三角函数的图象与性质高考资源网 (一)列表综合三个三角函数,,的图象与性质,并挖掘: ⑴最值的情况; ⑵了解周期函数和最小正周期的意义.会求的周期,或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期,了解加了绝对值后的周期情况; ⑶会从图象归纳对称轴和对称中心; 的对称轴是,对称中心是; 的对称轴是,对称中心是 的对称中心是 注意加了绝对值后的情况变化. ⑷写单调区间注意. (二)了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法,会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数的简图,并能由图象写出解析式. ⑴“五点法”作图的列表方式;高考资源网 ⑵求解析式时处相的确定方法:代(最高、低)点法、公式. (三)正弦型函数的图象变换方法如下: 先平移后伸缩   的图象 得的图象高考资源网 得的图象 得的图象 得的图象. 先伸缩后平移 的图象 得的图象 得的图象 得的图象得的图象. 【专题综合】高考资源网 例1.已知,求(1);(2)的值. 解:(1); (2)  . 说明:利用齐次式的结构特点(如果不具备,通过构造的办法得到),进行弦、切互化,就会使解题过程简化高考资源网 例2.已知向量 ,且, (1)求函数的表达式; (2)若,求的最大值与最小值高考资源网 解:(1),,,又, 所以, 所以,即;高考资源网 (2)由(1)可得,令导数,解得,列表如下: t -1 (-1,1) 1 (1,3)  导数 0 - 0 +   极大值 递减 极小值 递增  而所以 说明:本题将三角函数与平面向量、导数等综合考察,体现了知识之间的融会贯通。 例3. 平面直角坐标系有点 (1)求向量和的夹角的余弦用表示的函数; (2)求的最值. 解:(1),高考资源网  即   (2) , 又 ,  ,  , . 说明:三角函数与向量之间的联系很紧密,解题时要时刻注意 例4. 设 ( ([0, ], 且 cos2(+2msin(-2m-2<0 恒成立, 求 m 的取值范围. 解法 1 由已知 0≤sin(≤1 且 1-sin2(+2msin(-2m-2<0 恒成立. 令 t=sin(, 则 0≤t≤1 且 1-t2+2mt-2m-2<0 恒成立. 即 f(t)=t2-2mt+2m+1=(t-m)2-m2+2m+1>0 对 t([0, 1] 恒成立. 故可讨论如下: 高考资源网 (1)若 m<0, 则 f(0)>0. 即 2m+1>0. 解得 m>, ∴0. 即 -m2+2m+1>0. 亦即 m2-2m-1<0. 解得: 11, 则 f(1)>0. 即 0(m+2>0. ∴m(R, ∴m>1. 综上所述 m>. 即 m 的取值范围是 (, +∞). 解法 2 题中不等式即为 2(1-sin()m>-1-sin2(.∵(([0, ], ∴0≤sin(≤1. 当 sin(=1 时, 不等式显然恒成立, 此时 m(R; 当 0≤sin(<1 时,恒成立. 高考资源网 令 t=1-sin(, 则 t((0, 1], 且  恒成立. 易证 g(t)=1-在 (0, 1] 上单调递增, 有最大值 - , ∴m>. 即 m 的取值范围是 (, +∞). 高考资源网 说明:三角函数与不等式综合,注意“恒成立”问题的解决方式 【专题突破】 一、选择题 1.有下列命题: ①终边相同的角的三角函数值相同; ②同名三角函数的值相同的角也相同; ③终边不相同,它们的同名三角函数值一定不相同; ④不相等的角,同名三角函数值也不相同.高考资源网 其中正确的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 2.角α的终边上有一点P(a,a),a∈R,a≠0,则sinα的值是( ) A. B.- C. 或- D.1 3.若++=-1,则角x一定不是( ) A.第四象限角 B.第三象限角 C.第二象限角 D.第一象限角高考资源网 4.如果<θ<,那么下列各式中正确的是( ) A.cosθ<tanθ<sinθ B.sinθ<cosθ<tanθ C.tanθ<sinθ<cosθ D.cosθ<sinθ<tanθ 5.若A、B是锐角△ABC的两个内角,则P(cosB-sinA,sinB-cosA)在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 6.若sinαtanα>0,则α的终边在( ) A.第一象限 B.第四象限 C.第二或第三象限 D.第一或第四象限高考资源网 7.若角α的终边与直线y=3x重合且sinα<0,又P(m,n)是角α终边上一点,且|OP|=,则m-n等于( ) A.2 B.-2 C.4 D.-4 8.下列三角函数: ①sin(nπ+);②cos(2nπ+);③sin(2nπ+);④cos[(2n+1)π-];⑤sin[(2n+1)π-](n∈Z).其中函数值与sin的值相同的是( ) A.①② B.①③④ C.②③⑤ D.①③⑤ 9.若cos(π+α)=-,且α∈(-,0),则tan(+α)的值为( ) A.- B. C.- D. 10.设A、B、C是三角形的三个内角,下列关系恒成立的是( ) A.cos(A+B)=cosC B.sin(A+B)=sinC高考资源网 C.tan(A+B)=tanC D.sin=sin 11.下列函数中,同时满足①在(0,)上是增函数,②为奇函数,③以π为最小正周期的函数是( ) A.y=tanx B.y=cosx C.y=tan D.y=|sinx| 12.函数y=2tan(3x-)的一个对称中心是( ) 高考资源网 A.(,0) B.(,0) C.(-,0) D.(-,0) 二、填空题 13.若角α的终边经过P(-3,b),且cosα=-,则b=_________,sinα=_________. 14.若α是第三象限角,则=_________. 15.tanα=m,则 . 16.函数 y=f(x) 的图象右移,横坐标缩小到原来的一半,得到y=tan2x的图象, 则y=f(x)解析式是_______________.高考资源网 三、解答题 17.已知角α的顶点在原点,始边为x轴的非负半轴.若角α的终边过点P(-,y),且sinα=y(y≠0),判断角α所在的象限,并求cosα和tanα的值. 18. 根据下列三角函数值,求作角α的终边,然后求角α的取值集合. (1)sinα=;(2)cosα=;(3)tanα=-1;(4)sinα>. 19. 化简:.高考资源网 20. 求函数y=-2tan(3x+)的定义域、值域,并指出它的周期、奇偶性和单调性. 21. 数的最小值为 (1)求(2)若,求及此时的最大值 22. 已知f(x)是定义在R上的函数,且高考资源网 (1)试证f(x)是周期函数.   (2)若f(3)=,求f(2005)的值. 专题突破参考答案 一、选择题 1.B 2. C 3.D 4.D 5. D 6. D 7.A 8.C 9.B 10.B 11.A 12. C 二、填空题 13.±4 ± 14.-sinα-cosα 15. 16.y=tan(x+) 三、解答题 17. 解:依题意,点P到原点O的距离为|OP|=,∴sinα==y. ∵y≠0,∴9+3y2=16.∴y2=,y=±.高考资源网 ∴点P在第二或第三象限. 当点P在第二象限时,y=,cosα==-,tanα=-;高考资源网 18.解:(1)已知角α的正弦值,可知MP=,则P点的纵坐标为.所以在y轴上取点(0,),过这点作x轴的平行线,交单位圆于P1、P2两点,则OP1、OP2是角α的终边,因而角α的取值集合为{α|α=2kπ+,或α=2kπ+,k∈Z}.如下图.  (2)因为OM=,则在x轴上取点(,0),过该点作x轴的垂线,交单位圆于P1、P2两点,OP1、OP2是所求角α的终边,α的取值集合为{α|α=2kπ±,k∈Z}.如下图.  (3)在单位圆过点A(1,0)的切线上取AT=-1,连结OT,OT所在直线与单位圆交于P1、P2两点,OP1、OP2是角α的终边,则角α的取值集合是{α|α=2kπ+,或α=2kπ+,k∈Z}={α|α=kπ±π,k∈Z}.如下图.高考资源网  (4)这是一个三角不等式,所求的不是一个确定的角,而是适合条件的角的范围.如下图,作出正弦值等于的角α的终边,正弦值大于的角的终边与单位圆的交点在劣弧P1P2上,所以所求角的范围如下图中的阴影部分,α的取值集合是{α|2kπ+<α<2kπ+,k∈Z}.高考资源网 当点P在第三象限时,y=-,cosα==-,tanα=.  19. 解: = = = ==-1.高考资源网 20. 解:由3x+≠kπ+,得x≠(k∈Z), ∴所求的函数定义域为{x|x≠(k∈Z)},值域为R,周期为, 它既不是奇函数,也不是偶函数. kπ-≤3x+≤kπ+(k∈Z),高考资源网 ∴≤x≤(k∈Z). 在区间[,](k∈Z)上是单调减函数. 21. 解:  高考资源网 (1)函数的最小值为 ,  ,  ,,=   (2)  高考资源网      22. 解: (1)由,故f(x+4)= = f(x+8)=f(x+4+4)==f(x),即8为函数的周期高考资源网 (2)由 f(x+4) =,得f(5) = ∴f(2005)=f(5+250×8)=f(5)=

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