二面角
一、素质教育目标
（一）知识教学点
1．二面角的有关概念．
2．二面角的平面角的定义及作法．
（二）能力训练点
1．利用类比的方法理解和掌握二面角的有关概念；掌握二面角的平面角的定义．
2．用转化的思维方法将二面角问题转化为其平面角问题，进一步培养学生的空间想象能力和分析、解决问题的能力．
3．通过练习，归纳总结作二面角的平面角的三种方法．
（三）德育渗透点
让学生认识到研究二面角的问题是人类生产实践的需要，进一步培养学生实践第一的观点．
二、教学重点、难点、疑点及解决方法
1．教学重点：二面角、二面角的平面角的概念．
2．教学难点：如何选取恰当的位置作出二面角的平面角来解题．
3．教学疑点：二面角的平面角必须满足下列两个条件：一是平面角的顶点必在棱上；二是平面角的两边分别在二面角的两个面内．
三、课时安排
1课时．
四、教与学过程设计
（一）二面角
师：我们知道，两个平面的位置关系有两种：一种是平行，另一种是相交．两个相交平面的相对位置是由这两个平面所成的“角”来确定的．在生产实践中，有许多问题也涉及到两个平面所成的角．如：修筑水坝时，为了使水坝坚固耐久，必须使水坝面和水平面成适当的角度；发射人造地球卫生时，也要根据需要，使卫星的轨道平面和地球的赤道平面成一定的角度（图看课本P．39中图1—43），等等．这些事实都说明了研究两个平面所成的“角”是十分必要的，我们就把这样的“角”叫二面角，那么如何定义二面角呢？阅读课本P．39—40，回答下列问题．
师：我们先来回忆：什么是角？如何表示？
生：从平面内一点出发的两条射线（半直线）所组成的图形叫做角（如图1—117），表示为∠AOB．
师：根据角的定义，我们可以类似地定义二面角．先给出半平面的定义．
生：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面．
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面（如图1—119）．
师：那么如何表示二面角呢？
生：棱为AB，面为α、β的二面角记作二面角α—AB—β，如果棱用a表示，则记作二面角α—a—β．
师：二面角的画法通常有哪几种？
生：第一种是卧式法，也称为平卧式（如图1－120）．
第二种是立式法，也称为直立式．
（二）平面角
师：为了对相交平面的相互位置作进一步的探讨，有必要研究二面角的大小问题．如门和墙所在的平面是相交的，但门可以在关上、开一点小缝、开一半、全开等各种位置上，也就是说两平面虽处于相交的位置关系，但相互之间的位置关系还是应当讨论的．为了表示二面角的大小，我们必须引入平面角的定义．
定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．
师：二面角的大小可以用它的平面角来度量，即二面角的平面角是几度，就说这个二面角是几度．现在我们来思考：
问题1：这样用平面角的度数来表示二面角的度数是否合理？为什么？
生：是合理的．
如图1—121，在二面角α—a—β的棱a上任取一点O，在半平面α和β内，从点O分别作垂直于棱a的射线OA、OB，射线OA和OB组成∠AOB，在棱上另取任意一点O＇，按同样的方法作∠A＇O＇B＇，因为OA和OA＇、OB和OB＇都垂直于棱a，所以∠AOB和∠A＇O＇B＇的两边分别平行且方向相同，根据等角定理，得：∠AOB＝∠A＇O＇B＇，即∠AOB的大小是一定的．由于这个唯一性，从而说明这样定义二面角的平面角是合理的，且与点O在棱上的位置无关．
问题2：二面角的平面角必须满足哪几个条件？
生：两个条件．一是平面角的顶点必在棱上；二是平面角的两边分别在二面角的两个面内．
师：平面角是直角的二面角叫直二面角．
在实际生活中，木工用活动角尺测量工件的两个面所成的角时，就是测量这两个角所成二面角的平面角（图见P．40中图1—45）．我国发射的第一颗人造地球卫星的倾角是68.5°，就是说卫生轨道平面与地球赤道平面所成的二面角的平面角是68.5°（图见P．39中图1—43）．
下面请同学们完成例题和练习．
（三）练习
例 如图1—122，山坡的倾斜度（坡面与水平面所成二面角的度数）是60°，山坡上有一条直道CD，它和坡脚的水平线AB的夹角是30°，沿这条路上山，行走100米后升高多少米？
解：已知CD=100米，设DH垂直于过BC的水平平面，垂足为H，线段DH的长度就是所求的高度．在平面DBC内，过点D作DG⊥BC，垂足是G，连结GH．
∵DH⊥平面BCH，DG⊥BC，
∴GH⊥BC．
因此，∠DGH就是坡面DGC和水平平面BCH所成的二面角的平面角，∠DGH＝60°，由此得：
≈43.3（米）．
答：沿直道前进100米，升高约43.3米．
注：在解题中要特别注意书写规范．如：
∵DG⊥BC，GH⊥BC，
∴∠DGH是坡面DGC和水平面BCH所成二面角的平面角．
练习：（P．41—42练习1、2、3、4．）
1．拿一张正三角形的纸片ABC，以它的高AD为折痕，折成一个二面角，指出这个二面角的面、棱、平面角．
2．一个平面垂直于二面角的棱，它和二面角的两个面的交线所成的角就是二面角的平面角．为什么？
3．教室相邻两面墙、天花板两两所成的二面角各有多少度？
4．在30°二面角的一个面内有一个点，它到另一个面的距离是10cm，求它到棱的距离．
解：1．如图1—123，二面角B—AD—C中，面ABD，面ACD；棱AD；平面角∠BDC．
2．如图1—124，平面AOB⊥a，平面AOB与平面α、β的交
∠AOB是二面角α—a—β的平面角．
3．如图1—125，二面角α—c—β，二面角β—b—γ，二面角α—a—γ的平面角分别为∠AOB，∠AOC，∠BOC，都是90°．
4．已知：如图1—126，二面角α—AB—β为30°，P∈α，P到平面β的距离为10cm．
求P到AB的距离．
解：在β内作点P的射影O，过点P作PQ⊥AB于Q，连结OQ，根据三垂线定理，可得OQ⊥AB．
∴∠PQO为二面角α—AB—β的平面角，即∠PQO＝3O°．
∵PO＝10cm，
∴PQ＝20cm．
即P到AB的距离为20cm．
小结：从上面四题练习，我们可以总结三种作二面角的平面角的一般方法．
1．定义法：以二面角的棱上某一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角即二面角的平面角（如练习1，3）．
2．应用三垂线（逆）定理法：在二面角α—l—β的面α上取一点A，作AB⊥β于B，BC⊥l于C，则∠ACB即为α—l—β的平面角（如练习4）．
3．作垂面法：作棱的垂面，则它和二面角的两个面的交线所成的角就是二面角的平面角（如练习2）．
（四）总结
本节课我们学习了二面角，二面角的平面角等有关概念，并学会了如何作二面角的平面角．学习的关键是将二面角的问题转化为其平面角的问题．
五、作业
P．45—46中习题六1、2、3、4、5．
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