第三节二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题
[知识能否忆起]
1．二元一次不等式(组)表示的平面区域
(1)在平面直角坐标系中二元一次不等式(组)表示的平面区域：
不等式
表示区域
Ax＋By＋C＞0
直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域
不包括边界直线
Ax＋By＋C≥0
包括边界直线
不等式组
各个不等式所表示平面区域的公共部分
(2)二元一次不等式表示的平面区域的确定：
二元一次不等式所表示的平面区域的确定，一般是取不在直线上的点(x0，y0)作为测试点来进行判定，满足不等式的，则平面区域在测试点所在的直线的一侧，反之在直线的另一侧．
2．线性规划中的基本概念
名称
意义
约束条件
由变量x，y组成的不等式(组)
线性约束条件
由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)
目标函数
关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等
线性目标函数
关于x，y的一次解析式
可行解
满足线性约束条件的解(x，y)
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
[小题能否全取]
1.(教材习题改编)如图所示的平面区域(阴影部分)，用不等式表示为( )
A．2x－y－3＜0 B．2x－y－3＞0
C．2x－y－3≤0 D．2x－y－3≥0
解析：选B 将原点(0,0)代入2x－y－3得2×0－0－3＝－3＜0，所以不等式为2x－y－3＞0.
2．(教材习题改编)已知实数x、y满足则此不等式组表示的平面区域的面积是( )
A. B.
C．1 D.
解析：选A 作出可行域为如图所示的三角形，∴S△＝×1×1＝.
3．(2012·安徽高考)若x，y满足约束条件则z＝x－y的最小值是( )
A．－3 B．0
C. D．3
解析：选A
根据得可行域如图中阴影部分所示，根据z＝x－y得y＝x－z，平移直线y＝x，当其经过点(0,3)时取得最小值－3.
4.写出能表示图中阴影部分的二元一次不等式组是__________．
解析：由可行域知不等式组为
答案：
5．完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成．请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x人，瓦工y人，则所请工人数的约束条件是________．
答案：
1.确定二元一次不等式表示平面区域的方法与技巧
确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．
(1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线；(2)特殊点定域，即在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧．特别地，当C ≠0时，常把原点作为测试点；当C＝0时，常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点．
2．最优解问题
如果可行域是一个多边形，那么目标函数一般在某顶点处取得最大值或最小值，最优解就是该点的坐标，到底哪个顶点为最优解，只要将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是．特别地，当表示线性目标函数的直线与可行域的某条边平行时，其最优解可能有无数个．
二元一次不等式(组)表示平面区域
典题导入
[例1] (2011·湖北高考)直线2x＋y－10＝0与不等式组表示的平面区域的公共点有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．无数个
[自主解答] 由不等式组画出平面区域如图(阴影部分)．
直线2x＋y－10＝0恰过点A(5,0)，且斜率k＝－2＜kAB＝－，即直线2x＋y－10＝0与平面区域仅有一个公共点A(5,0)．
[答案] B
由题悟法
二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．
注意：不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，测试点常选取原点．
以题试法
1．(1)(2012·海淀期中)若满足条件的整点(x，y)恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a的值为( )
A．－3 B．－2
C．－1 D．0
(2)(2012·北京朝阳期末)在平面直角坐标系中，不等式组所表示的平面区域的面积是9，则实数a的值为________．
解析：(1)不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当a＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)5个整点，故选C.
(2)不等式组所表示的平面区域是如图所示的△ABC，且A(－2,2)，B(a，a＋4)，C(a，－a)，若a≤0，则有△ABC的面积S△ABC≤4，故a＞0，BC的长为2a＋4，由面积公式可得△ABC的面积S△ABC＝(a＋2)·(2a＋4)＝9，解得a＝1.
答案：(1)C (2)1
求目标函数的最值
典题导入
[例2] (1)(2012·新课标全国卷)设x，y满足约束条件则z＝x－2y的取值范围为________．
(2)(2012·广州调研)已知实数x，y满足若目标函数z＝ax＋y(a≠0)取得最小值时的最优解有无数个，则实数a的值为________．
[自主解答] (1)依题意，画出可行域，如图阴影部分所示，显然，当直线y＝x－过点B(1,2)时，z取得最小值为－3；当直线过点A(3,0)时，z取得最大值为3，综上可知z的取值范围为[－3,3]．
(2)画出平面区域所表示的图形，如图中的阴影部分所示，平移直线ax＋y＝0，可知当平移到与直线2x－2y＋1＝0重合，即a＝－1时，目标函数z＝ax＋y的最小值有无数多个．
[答案] (1)[－3,3] (2)－1
若本例(2)条件变为目标函数z＝ax＋y(a≠0)仅在点处取得最小值，其它条件不变，求a的取值范围．
解：由本例图知，当直线ax＋y＝0的斜率k＝－a＞1，
即a＜－1时，满足条件，
所求a的取值范围为(－∞，－1)．
由题悟法
1．求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．
2．常见的目标函数有：
(1)截距型：形如z＝ax＋by.
求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值．
(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2.
(3)斜率型：形如z＝.
注意：转化的等价性及几何意义．
以题试法
2．(1)设z＝2x＋y，其中x，y满足若z的最大值为6，则k的值为________；z的最小值为________．
(2)已知O是坐标原点，点A(1,0)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则|＋|的最小值是________．
解析：(1)在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线2x＋y＝6，结合图形分析可知，要使z＝2x＋y的最大值是6，直线y＝k必过直线2x＋y＝6与x－y＝0的交点，即必过点(2,2)，于是有k＝2；平移直线2x＋y＝6，当平移到经过该平面区域内的点(－2,2)时，相应直线在y轴上的截距达到最小，此时z＝2x＋y取得最小值，最小值是z＝2×(－2)＋2＝－2.
(2)依题意得，＋＝(x＋1，y)，|＋|＝可视为点(x，y)与点(－1,0)间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点(－1,0)向直线x＋y＝2引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点(－1,0)的距离最小，因此|＋|的最小值是＝.
答案：(1)2 －2 (2)
线性规划的实际应用
典题导入
[例3] (2012·四川高考)某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( )
A．1 800元 B．2 400元
C．2 800元 D．3 100元
[自主解答] 设每天分别生产甲产品x桶，乙产品y桶，相应的利润为z元，则z＝300x＋400y，在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线300x＋400y＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点A(4,4)时，相应直线在y轴上的截距达到最大，此时z＝300x＋400y取得最大值，最大值是z＝300×4＋400×4＝2 800，即该公司可获得的最大利润是2 800元．
[答案] C
由题悟法
与线性规划有关的应用问题，通常涉及最优化问题．如用料最省、获利最大等，其解题步骤是：①设未知数，确定线性约
束条件及目标函数；②转化为线性规划模型；③解该线性规划问题，求出最优解；④调整最优解．
以题试法
3．(2012·南通模拟)铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：
a
b(万吨)
c(百万元)
A
50%
1
3
B
70%
0.5
6
某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________百万元．
解析：可设需购买A铁矿石x万吨，B铁矿石y万吨，
则根据题意得到约束条件为
目标函数为z＝3x＋6y，画出不等式组表示的平面区域如图所示当目标函数经过(1,2)点时目标函数取最小值，最小值为zmin＝3×1＋6×2＝15.
答案：15
1．(2012·三明模拟)已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则a的取值范围为( )
A．(－24,7) B．(－7,24)
C．(－∞，－7)∪(24，＋∞) D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)
解析：选B 根据题意知(－9＋2－a)·(12＋12－a)＜0.
即(a＋7)(a－24)＜0，解得－7＜a＜24.
2．已知实数对(x，y)满足则2x＋y取最小值时的最优解是( )
A．6 B．3
C．(2,2) D．(1,1)
解析：选D 约束条件表示的可行域如图中阴影三角形，令z＝2x＋y，y＝－2x＋z，作初始直线l0：y＝－2x，作与l0平行的直线l，则直线经过点(1,1)时，(2x＋y)min＝3.
3．(2012·山东高考)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－y的取值范围是( )
A. B.
C．[－1,6] D.
解析：选A 不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数的几何意义是直线在y轴上截距的相反数，其最大值在点A(2,0)处取得，最小值在点B处取得，即最大值为6，最小值为－.
4．在不等式组确定的平面区域中，若z＝x＋2y的最大值为3，则a的值是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A 如图所示，作出可行域，是一个三角形区域，而由图可知，目标函数z＝x＋2y在点A(a，a)处取得最值，故a＋2a＝3，解得a＝1.
5．(2012·石家庄质检)已知点Q(5,4)，动点P(x，y)满足则|PQ|的最小值为( )
A．5 B.
C．2 D．7
解析：选A 不等式组所表示的可行域如图所示，直线AB的方程为x＋y－2＝0，过Q点且与直线AB垂直的直线为y－4＝x－5，即x－y－1＝0，其与直线x＋y－2＝0的交点为，而B(1,1)，A(0,2)，因为＞1，所以点Q在直线x＋y－2＝0上的射影不在线段AB上，则|PQ|的最小值即为点Q到点B的距离，故|PQ|min＝＝5.
6．(2013·山东烟台模拟)已知A(3，)，O是坐标原点，点P(x，y)的坐标满足设 Z为在上的投影，则Z的取值范围是( )
A．[－， ] B．[－3,3]
C．[－，3] D．[－3， ]
解析：选B 约束条件所表示的平面区域如图．在上的投影为||·cos θ＝2cos θ(θ为与的夹角)，
∵∠xOA＝30°，∠xOB＝60°，
∴30°≤θ≤150°，
∴2cos θ∈[－3,3]．
7．(2013·成都月考)若点P(m,3)到直线4x－3y＋1＝0的距离为4，且点P在不等式2x＋y＜3表示的平面区域内，则m＝________.
解析：由题意可得解得m＝－3.
答案：－3
8．(2012·“江南十校”联考)已知x，y满足则x2＋y2的最大值为________．
解析：作出如图所示的可行域．
x2＋y2表示可行域内的点到原点的距离的平方，易知在点A(－3，－4)处取最大值(－3)2＋(－4)2＝25.
答案：25
9．(2012·上海高考)满足约束条件|x|＋2|y|≤2的目标函数z＝y－x的最小值是________．
解析：由题意知约束条件表示的可行域为如图所示的菱形区域，所以当x＝2，y＝0时，目标函数z＝y－x取得最小值－2.
答案：－2
10．画出不等式组表示的平面区域，并回答下列问题：
(1)指出x，y的取值范围；
(2)平面区域内有多少个整点？
解：(1)不等式x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及右下方的点的集合．x＋y≥0表示直线x＋y＝0上及右上方的点的集合，x≤3表示直线x＝3上及左方的点的集合．
所以，不等式组表示的平面区域如图所示．
结合图中可行域得x∈，y∈[－3,8]．
(2)由图形及不等式组知
当x＝3时，－3≤y≤8，有12个整点；
当x＝2时，－2≤y≤7，有10个整点；
当x＝1时，－1≤y≤6，有8个整点；
当x＝0时，0≤y≤5，有6个整点；
当x＝－1时，1≤y≤4，有4个整点；
当x＝－2时，2≤y≤3，有2个整点；
所以平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个)．
11．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．
(1)用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润W(元)；
(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？
解：(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x－y，
所以利润W＝5x＋6y＋3(100－x－y)
＝2x＋3y＋300.
(2)约束条件为
整理得
目标函数为W＝2x＋3y＋300，如图所示，作出可行域．
初始直线l0：2x＋3y＝0，平移初始直线经过点A时，W有最大值．
由得最优解为A(50,50)，
所以Wmax＝550(元)．
答：每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，为550元．
12．变量x、y满足
(1)设z＝，求z的最小值；
(2)设z＝x2＋y2，求z的取值范围．
解：由约束条件作出(x，y)的可行域如图所示．
由
解得A.
由解得C(1,1)．
由解得B(5,2)．
(1)z＝＝表示的几何意义是可行域中的点与原点O连线的斜率.
观察图形可知zmin＝kOB＝.
(2)z＝x2＋y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，
dmin＝|OC|＝，dmax＝|OB|＝.
故z的取值范围为[2,29]．
1．(2012·龙岩阶段性检测)在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积为5，直线mx－y＋m＝0过该平面区域，则m的最大值是________．
解析：平面区域如图所示，A(a,2a)，B.
∴S△OAB＝××a＝a2＝5，
∴a＝2，即A(2,4)，B(2，－1)．
又mx－y＋m＝0过定点(－1,0)，即y＝mx＋m，斜率m的最大值为过A点时的值为＝.
答案：
2．(2012·济南质检)已知实数x，y满足|2x＋y＋1|≤|x＋2y＋2|，且－1≤y≤1，则z＝2x＋y的最大值为( )
A．6 B．5
C．4 D．－3
解析：选B |2x＋y＋1|≤|x＋2y＋2|等价于(2x＋y＋1)2≤(x＋2y＋2)2，即x2≤(y＋1)2，即|x|≤|y＋1|.又－1≤y≤1，作出可行域如图阴影部分所示．
则当目标函数过C(2,1)时取得最大值，
所以zmax＝2×2＋1＝5.
3．若x，y满足约束条件
(1)求目标函数z＝x－y＋的最值．
(2)若目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，求a的取值范围．
解：(1)作出可行域如图，可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0)．
平移初始直线x－y＋＝0，过A(3,4)取最小值－2，过C(1,0)取最大值1.
∴z的最大值为1，最小值为－2.
(2)直线ax＋2y＝z仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－<2，解得－4
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