南安一中2011届文科数学第二轮专题复习学案
专题一 三角函数
题型1 三角函数定义与单位圆
例1如图，是单位圆与轴正半轴的交点，点、在单位圆上，且，，，,四边形的面积为，
（Ⅰ）求+
（Ⅱ）求的最大值及此时的值；
解：(1)∵，，
, ………………2分
+= ………………4分
（2）由已知得：， ………………5分 ∴，， ………………7分
又 ………………8分
∴（……10分
则的最大值为，此时 ……………12分
变式训练1：在平面直角坐标系中，点在角的终边上，点在角的终边上，且．
（1）求的值；
（2）求的值．
解：（1）因为，所以，
即，所以，
所以．………………………………………6分
（2）因为 ，所以，所以，，
又点在角的终边上，所以， ．
同理 ，，
．14分
题型2 化简求值（诱导公式、和差倍半）
例2. 已知A、B、C的坐标分别为A,B, C, .
(1) 若, 求角的值;
(2) 若, 求的值.
解：(1)∵, ∴点C在上, 则.
(2)
则
原式＝
变式2：
1已知求．
2、已知，，,
（1）求的值；（2）求的值。
讲解（1）由两边平方得
（2）由,得,所以又
∴
题型3 三角函数图象与性质
例3已知角的顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，终边经过点。
(1) 定义行列式式子运算为求行列式的值；
(2)若函数，
求函数的最大值，并指出取到最大值时的值。
解：(1)因为角终边经过点，
所以
；
(2)
此时
变式训练3：已知向量
（1）若且，试求x的值；
（2）设试求的对称轴方程，对称中心，单调递增区间
（１）
…
（2）
例4已知函数,,其图象过点
（1）求的解析式，并求其对称中心；
（2）将函数的图象上各点纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，然后各点横坐标不变，纵坐标扩大为原来的2倍，得到的图象，求函数在上的最大值和最小值．
（1）
…………………………………………………3分
，
…………………………………………………4分
，对称中心为………………6分
（2）
………………810分
当时，即时，的最大值为2 ……………………10分
当时，即时，的最小值为 ……………………12分
变式4：已知函数的部分图象如图。
（1）求函数的解析式；
（2）将函数的图象向左平移个
单位，使所得的图像关于轴对称， 求的
最小值。
例5已知＝（，），＝（，2），设＝
（1）求的最小正周期和单调递减区间；
（2）设关于的方程=在[]有两个不相等的实数根，求的取值范围．
解：（1）由f（x）＝·得
f（x）＝（cos＋sin）·（cos－sin）＋（－sin）·2cos
＝cos2－sin2－2sincos
＝cosx－sinx＝cos（x＋）， ------------4分
所以f（x）的最小正周期T＝2π． ----------5分
又由2kπ≤x＋≤π＋2kπ，k∈Z，得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z．
故f（x）的单调递减区间是[－＋2kπ，＋2kπ]（k∈Z）． -------------7分
（2）由f（x）＝得cos（x＋）＝，故cos（x＋）＝----8分
又x∈，于是有x＋∈，数形结合得＜1 ---11分
∴＜ 所以的取值范围是[1，） -----12分
变式5：已知
当=1，求的对称轴和对称中心
M=[1,2],存在使得的概率为不多于
当，的值域的区间长度的取值范围。
题型四、解三角形（正余弦定理）
1向量运算与三角形
例6，其中是的内角.
（Ⅰ）当时，求；
（Ⅱ）当取最大值时，求大小；
（Ⅲ）在（Ⅱ）条件下，若，求值．
（Ⅰ）当时，（4分）
（Ⅱ）
（8分）
时，取到最大值（8分）
（Ⅲ）由条件知，由正弦定理得
（12分）
变式训练6：设函数，其中
（Ⅰ）求的最大值；
（Ⅱ）在中，分别是角的对边，且f（A）＝2,a＝,b＋c＝3,求b,c的值．
解：（I）由题意知
当，即时
（II）由（I）知
由余弦定理得
即
．
2边角关系互化
例7在中，角A、B、C所对的边分别为
（1）求边的值；
（2）求的值。
变式训练7在中，分别为内角的对边，
且
（1）求的大小； （2）若，试判断的形状.
解：（1）由已知，根据正弦定理得
即 （3分）
由余弦定理得
故 （6分）
（2）由（1）得
又，得 （9分）
因为，故（9分）
所以是等腰的钝角三角形。 （12分）
3面积周长及其最值问题
例8在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边长，且
（1）若求实数m的值；
（2）若面积的最大值。
变式训练8
1 已知函数
（I）求函数的最小值和最小正周期；
（II）设△的内角对边分别为，且，若与 共线，求周长
解：（I）∵ -----2分
∴函数的最小值为-2，最小正周期为. -------4分
（II）由题意可知，，
∵∴
∴ . --------------6分
∵与共线∴ ①
∵ ②
由①②解得，. 所以周长为 ---12分
2在中，已知内角，边.设内角,面积为.
(1)求函数的解析式和定义域；
(2)求的最大值.
解：（1）的内角和
（2）
当即时，y取得最大值 ………………………14分
题型五 三角函数应用问题
1 观察角度问题
变式1：如图某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A、B，观察对岸的点C,测得，,且米。
（1）求；
（2）求该河段的宽度。
题型五 三角函数应用问题
1 观察角度问题
变式1：如图某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A、B，观察对岸的点C,测得，,且米。
（1）求；
（2）求该河段的宽度。
解：（1）
------------------------4分
（2）∵，
∴,
由正弦定理得：
∴------------6分
如图过点B作垂直于对岸，垂足为D,则BD的长就是该河段的宽度。
在中，∵,------------8分
∴＝
（米）
∴该河段的宽度米。---------------------------12分
例10春节期间，某地昼夜气温呈周期性变化，温度随时间变化近似满足函数（，，）（如图4），且在每天凌晨时达到最低温度℃，在下午时达到最高温度℃．
⑴求这段时间气温随时间变化的函数解析式；
⑵这段时间该地一昼夜内哪几个时刻的气温为℃？
注：一昼夜指从凌晨0时（含）到午夜24时（不含）．
⑴依题意，……2分，解得，……4分；，……5分，……6分，由……7分，且，解得……8分，所以……9分．
⑵由得……10分，所以或，……12分，由，解得或，即在每天的时或时的气温为℃……14分．
变式10：如图，在半径为、圆心角为的扇形的弧上任取一点，作扇形的内接矩形，使点在上，点在上，设矩形的面积为,
（1）按下列要求写出函数的关系式：
①设，将表示成的函数关系式；
②设，将表示成的函数关系式，
（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，求出的最大值．
解：
以，……………… 2分
所以．… 4分
②因为，，，
所以………………………………… 6分
所以，
即，…………………………… 8分
（2）选择，…………… 12分
……………………………………… 13分
所以．………………………………………………… 14分
习题
1.设是某港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数，其中．下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
12
15．1
12．1
9．1
11．9
14．9
11．9
8．9
12．1
经长期观察，函数的图象可以近似地看成函数的图象．下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（）（ ）
A． B．
C． D．
2. 函数的图像与直线相交于一系列的点，从左到右依次取相邻的三个点，分别记作，若能使成立，必有 （A ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．且
3函数y＝f(x)的图象与直线x＝a，x＝b及x轴所围成图形的面积称为函数f(x)在[a，b]上的面积．已知函数y＝sinnx在[0，]上的面积为(n∈N*)，则
(i)函数y＝sin3x在[0，]上的面积为 ；
(ii)函数y＝sin(3x－π)＋1在[，]上的面积为 ．
4已知，则
5为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤。
6
120
4
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