复习专题二 直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线的位置关系问题是高考的重点内容，除在客观题中考查外，解答题对解析几何的考查也以直线与圆锥曲线的位置关系为主。本专题的复习内容与要求是： 　 1．掌握研究直线与二次曲线的位置关系问题（如弦长、中点弦、对称等）的基本方法。 2．能够综合运用代数、三角、几何方面的知识解决直线与圆锥曲线的位置关系问题。 圆锥曲线的几种常见题型 （1）直线与圆锥曲线位置关系的判定； （2）求直线与圆锥曲线相交的弦长的方法:设弦端点A （3）圆锥曲线的弦中点问题的解法: （4）解析几何中的最值和定值的方法： 【热身练习】 1、方向向量为且与抛物线相切的直线的方程是______________。 2、“a=b”是“直线”的______________条件。 3、过椭圆内一点的直线交椭圆于两点，且满足，则该直线的方程_________。 4、直线与抛物线交于两点，过两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，则梯形的面积为______________. 5、等轴双曲线C：的左焦点为F，若点P为左下半支上任意一点（不同于左顶点），则直线的斜率的取值范围是________________。 6、已知实数x，y满足3x2+2y2=6x，则x2+y2的最大值是_____________。 7、已知圆M：，直线：，下列四个命题： A、对任意实数与，直线和圆M相切 B、对任意实数与，直线和圆M有公共点 C、对任意实数，必存在对实数，使得直线和圆M相切 D、对任意实数，必存在实数，使得直线和圆M相切 其中真命题的代号是 （写出所有真命题） 【例题分析】 例1、已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点,A到抛物线准线的距离等于5,过A作AB垂直于y轴,垂足为B,OB的中点为M. (1)求抛物线方程; (2)过M作MN⊥FA, 垂足为N,求点N的坐标; (3)以M为圆心,MB为半径作圆M.当K(m,0)是x轴上一动点时,讨论直线AK与圆M的位置关系. [解] 例2、在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-1, 0)、B(1, 0), 动点C满足条件：△ABC的周长为2＋2.记动点C的轨迹为曲线W. (1)求W的方程； (2)经过点（0, ）且斜率为k的直线l与曲线W 有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围； （3）已知点M（，0），N（0, 1），在(Ⅱ)的条件下，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由. 解： 例3、已知点、的坐标分别是、，直线、相交于点，且它们的斜率之积为。 （1）求证：点的轨迹在一个椭圆上，并写出椭圆的方程； （2）设过原点的直线交（1）中的椭圆于点、，定点的坐标为，试求面积的最大值，并求此时直线的斜率。 解： 例4、设分别是椭圆C：的左右焦点 (1)设椭圆C上的点到两点距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标 (2)设K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段的中点B的轨迹方程 (3)设点P是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M，N两点，当直线PM ，PN的斜率都存在，并记为? 试探究的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论。 解： 例5、已知椭圆的左右焦点分别为，短轴两个端点为，且四边形是边长为2的正方形。 （1）求椭圆方程； （2）若分别是椭圆长轴的左右端点，动点满足，连接，交椭圆于点。证明：为定值； （3）在（2）的条件下，试问轴上是否存在异于点的定点，使得以为直径的圆恒过直线的交点，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。 解： 设复数与复平面上点对应. （1）若是关于的一元二次方程（）的一个虚根，且，求实数的值； （2）设复数满足条件（其中、常数 ），当为奇数时，动点的轨迹为. 当为偶数时，动点的轨迹为. 且两条曲线都经过点，求轨迹与的方程； （3）在（2）的条件下，轨迹上存在点，使点与点的最小距离不小于，求实数的取值范围. 【课后练习】 1.若点O和点分别是双曲线的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为__________________。 2.若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是________________。 3.设椭圆方程为，且．过椭圆的左焦点且倾斜角为的直线与椭圆交于两点，且，求椭圆的方程． 4、已知为椭圆,的左右焦点，是坐标原点，过作垂直于轴的直线交椭圆于，设 . （1）证明： 成等比数列； （2）若的坐标为，求椭圆的方程； （3）[文科] 在（2）的椭圆中，过的直线与椭圆交于、两点，若，求直线的方程． [理科] 在（2）的椭圆中，过的直线与椭圆交于、两点，若椭圆上存在点，使得 ，求直线的方程． 5．设两点在抛物线上，是AB的垂直平分线， （1）当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点F？证明你的结论； (2）当直线的斜率为2时，求在轴上截距的取值范围。 解： 6．已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，抛物线上一点到焦点F的距离为。 （1）求抛物线的方程与实数的值； （2）直线过焦点F，且点M到直线的距离为，求直线的方程； （3）O是抛物线的顶点，在抛物线弧OM上求一点P，使△FPM的面积最大。 解： 7．已知椭圆E的中心在原点，实轴长为6,一个焦点坐标为. (I).求椭圆E 的标准方程 (II)一条直线l与椭圆E交于两个不同的点M,N,如果线段MN恰好被直线x= —平分，求直线l的倾斜角α的取值范围。 解： 8．在平面直角坐标系中，过定点作直线与抛物线相交于两点，设动点、。 (1)求证：为定值； (2)若点是点关于坐标原点的对称点，求面积的最小值； (3)是否存在平行于轴的定直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由。 9. 圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦。若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦称之为曲线的垂轴弦。已知椭圆C：。 （1）过椭圆C的右焦点作一条垂直于轴的垂轴弦，求的长度； （2）若点是椭圆C上不与顶点重合的任意一点，是椭圆C的短轴，直线分别交轴于点和点（如右图），求的值； （3）在（2）的基础上，把上述椭圆C一般化为，是任意一条垂直于轴的垂轴弦，其它条件不变，试探究是否为定值？（不需要证明）；请你给出双曲线中相类似的结论，并证明你的结论。 复习专题二 直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线的位置关系问题是高考的重点内容，除在客观题中考查外，解答题对解析几何的考查也以直线与圆锥曲线的位置关系为主。本专题的复习内容与要求是： 　 1．掌握研究直线与二次曲线的位置关系问题（如弦长、中点弦、对称等）的基本方法。 2．能够综合运用代数、三角、几何方面的知识解决直线与圆锥曲线的位置关系问题。 圆锥曲线的几种常见题型 （1）直线与圆锥曲线位置关系的判定； （2）求直线与圆锥曲线相交的弦长的方法:设弦端点A （3）圆锥曲线的弦中点问题的解法 （4）解析几何中的最值和定值的方法： 【热身练习】 1、方向向量为且与抛物线相切的直线的方程是______________。 2、“a=b”是“直线”的______________条件。 充分不必要条件 3、过椭圆内一点的直线交椭圆于两点，且满足，则该直线的方程_________。 4、直线与抛物线交于两点，过两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，则梯形的面积为______________.48 5、等轴双曲线C：的左焦点为F，若点P为左下半支上任意一点（不同于左顶点），则直线的斜率的取值范围是________________。 6、已知实数x，y满足3x2+2y2=6x，则x2+y2的最大值是_____________。4 7、已知圆M：，直线：，下列四个命题： A、对任意实数与，直线和圆M相切 B、对任意实数与，直线和圆M有公共点 C、对任意实数，必存在对实数，使得直线和圆M相切 D、对任意实数，必存在实数，使得直线和圆M相切 其中真命题的代号是 （写出所有真命题） 顶点在原点，焦点在轴上的抛物线被直线截得的弦长为，求抛物线方程。  【例题分析】 例1、已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点,A到抛物线准线的距离等于5,过A作AB垂直于y轴,垂足为B,OB的中点为M. (1)求抛物线方程; (2)过M作MN⊥FA, 垂足为N,求点N的坐标; (3)以M为圆心,MB为半径作圆M.当K(m,0)是x轴上一动点时,讨论直线AK与圆M的位置关系. [解](1) 抛物线y2=2px的准线为x=-,于是4+=5, ∴p=2. ∴抛物线方程为y2=4x. (2)∵点A是坐标是(4,4), 由题意得B(0,4),M(0,2), 又∵F(1,0), ∴kFA=;MN⊥FA, ∴kMN=-, 则FA的方程为y=(x-1),MN的方程为y-2=-x,解方程组得x=,y=, ∴N的坐标(,). 由题意得, ,圆M.的圆心是点(0,2), 半径为2, 当m=4时, 直线AK的方程为x=4,此时,直线AK与圆M相离. 当m≠4时, 直线AK的方程为y=(x-m),即为4x-(4-m)y-4m=0, 圆心M(0,2)到直线AK的距离d=,令d>2,解得m>1 ∴当m>1时, AK与圆M相离; 当m=1时, AK与圆M相切; 当m<1时, AK与圆M相交. 例2、在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-1, 0)、B(1, 0), 动点C满足条件：△ABC的周长为2＋2.记动点C的轨迹为曲线W. (1)求W的方程； (2)经过点（0, ）且斜率为k的直线l与曲线W 有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围； （3）已知点M（，0），N（0, 1），在(Ⅱ)的条件下，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由. 解：(Ⅰ) 设C（x, y）, ∵ , , ∴ , ∴ 由定义知，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为2的椭圆除去与x轴的两个交点. ∴ . ∴ .[来源:学科网] ∴ W:  . … (2) 设直线l的方程为，代入椭圆方程，得. 整理，得. ① 因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于 ，解得或. ∴ 满足条件的k的取值范围为  （3）设P（x1,y1）,Q(x2,y2),则＝（x1+x2，y1+y2), 由①得. ② 又 ③ 因为，， 所以.……… 所以与共线等价于. 将②③代入上式，解得. 所以不存在常数k，使得向量与共线. 例3、已知点、的坐标分别是、，直线、相交于点，且它们的斜率之积为。 （1）求证：点的轨迹在一个椭圆上，并写出椭圆的方程； （2）设过原点的直线交（1）中的椭圆于点、，定点的坐标为，试求面积的最大值，并求此时直线的斜率。 解：（1）设为轨迹上的动点，由题意 即，点的轨迹在椭圆上；------------4’ （2）解法一：（Ⅰ）当直线垂直于轴时，，此时----------6’ （Ⅱ）当直线不垂直于轴时，设该直线方程为，代入椭圆中 得：、两点的坐标为：， 则---------------------------------------------------8’ 又点到直线的距离，------------------------9’ -----------------------------------10’  由，得，等号成立时 综上，的最大值是，此时----------------12’ 解法二：，由椭圆的对称性可知、两点到直线的距离相等，设距离为， 于是，即， 当取道最大值时，最大，--------------------------------------------7’ 设直线，椭圆上的点， ----------9’  ，当且仅当时， ， 而当且仅当时取得，此时------------------ 例4、设分别是椭圆C：的左右焦点 (1)设椭圆C上的点到两点距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标 (2)设K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段的中点B的轨迹方程 (3)设点P是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M，N两点，当直线PM ，PN的斜率都存在，并记为? 试探究的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论。 [解]：（1）由于点在椭圆上， ------1分 2=4, ------2分 椭圆C的方程为 --------3分 焦点坐标分别为（-1，0） ，（1，0）-----------4分 （2）设的中点为B（x, y）则点--------6分 把K的坐标代入椭圆中得-----8分 线段的中点B的轨迹方程为----------10分 （3）过原点的直线L与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称 设 ----11分 ，得------12分 -------------------13分 ==-----------15分 故：的值与点P的位置无关，同时与直线L无关，-----16分 例5、已知椭圆的左右焦点分别为，短轴两个端点为，且四边形是边长为2的正方形。 （1）求椭圆方程； （2）若分别是椭圆长轴的左右端点，动点满足，连接，交椭圆于点。证明：为定值； （3）在（2）的条件下，试问轴上是否存在异于点的定点，使得以为直径的圆恒过直线的交点，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。 解：（1），，椭圆方程为。 …………………………………………………………4分 （2），设，则。 直线：，即，……………………………6分 代入椭圆得 。……………………………………………8分 ，。 ，………………………………………………10分 （定值）。 （3）设存在满足条件，则。 ，，…………………………14分 则由得 ，从而得。 存在满足条件。…………………………………………………………16分 例6、设复数与复平面上点对应. （1）若是关于的一元二次方程（）的一个虚根，且，求实数的值； （2）设复数满足条件（其中、常数 ），当为奇数时，动点的轨迹为. 当为偶数时，动点的轨迹为. 且两条曲线都经过点，求轨迹与的方程； （3）在（2）的条件下，轨迹上存在点，使点与点的最小距离不小于，求实数的取值范围. 解：（1）是方程的一个虚根，则是方程的另一个虚根，……………………………………………………2分 则，所以………………………………………………………………………2分 （2）方法1：①当为奇数时，，常数）， 轨迹为双曲线，其方程为；……………………………………………………………2分 ②当为偶数时，，常数）， 轨迹为椭圆，其方程为；……………………………………………………………2分 依题意得方程组解得， 因为，所以， 此时轨迹为与的方程分别是：，.………………………………………2分 方法2：依题意得 ……………………………………………………2分 轨迹为与都经过点，且点对应的复数， 代入上式得，……………………………………………………………………………………………………2分 即对应的轨迹是双曲线，方程为； 对应的轨迹是椭圆，方程为.………………………………………2分 （3）由（2）知，轨迹：，设点的坐标为， 则 ，………………………………………2分 当即时， 当即时，，………………………………2分 综上 或.……………………………………………………………………………………2分 【课后练习】 1.若点O和点分别是双曲线的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为__________________。 2.若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是________________。 3.设椭圆方程为，且．过椭圆的左焦点且倾斜角为的直线与椭圆交于两点，且，求椭圆的方程． 4．已知为椭圆,的左右焦点，是坐标原点，过作垂直于轴的直线交椭圆于，设 . （1）证明： 成等比数列； （2）若的坐标为，求椭圆的方程； （3）[文科] 在（2）的椭圆中，过的直线与椭圆交于、两点，若，求直线的方程． [理科] 在（2）的椭圆中，过的直线与椭圆交于、两点，若椭圆上存在点，使得 ，求直线的方程． (1)证明：由条件知M点的坐标为，其中， ， …… 3分 ，即成等比数列． …… 4分 (2)由条件知， …… 6分 椭圆方程为 …… 8分 （3）[文科]设点A、B， 当轴时，A、B，所以． …… 9分 设直线的方程为， 代入椭圆方程得．…………… 11分 所以…………………………………………… 13分 由得  代入得，解得． 所以直线的方程为． …… 16分 [理科]设点P（x,y），A、B，由 ，得 当轴时，A、B， 此时P不在椭圆上． …… 9分 设直线的方程为，代入椭圆方程得 ． …… 11分 所以 … 13分 把点P（x,y）代入椭圆方程得，解得， 所以直线的方程为． …… 16分 5．设两点在抛物线上，是AB的垂直平分线， （1）当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点F？证明你的结论； (2）当直线的斜率为2时，求在轴上截距的取值范围。 解：（Ⅰ）两点到抛物线的准线的距离相等. ∵抛物线的准线是x轴的平行线，不同时为0， ∴上述条件等价于‘【 ∵， ∴上述条件等价于  即当且仅当时，l经过抛物线的焦点F. （II）设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为；过点A、B的直线方程可写为，所以满足方程得； A，B为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式 即 设AB的中点N的坐标为，则  由 即得l在y轴上截距的取值范围为（）. 6．已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，抛物线上一点到焦点F的距离为。 （1）求抛物线的方程与实数的值； （2）直线过焦点F，且点M到直线的距离为，求直线的方程； （3）O是抛物线的顶点，在抛物线弧OM上求一点P，使△FPM的面积最大。 解：（1）由抛物线的性质知，M到抛物线准线的距离为，抛物线开口向下，所以其准线方程为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 所求抛物线方程为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ，又，所以　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4分 （2），若直线斜率存在，设　　　　　　　　　　5分 点到直线距离为4，所以　　　　　　　　　　　　　　　7分 解得　　　　　　，则　　　　　　　　　　　　　　　　　8分 当直线斜率不存在时，也满足题意　　　　　　　　　　　　　　　　　　9分 所以所求直线方程为：或。　　　　　　　　　　　　　　　10分 （3）设，由，则 　　　　　　　　　　　　　　　　　　12分 　　　　　　　　　　　＝ 　　　　　　　　　　　＝　　　　　　　　　　　　　　　14分 因为，所以当时，△面积最大值为。此时。16分 7．已知椭圆E的中心在原点，实轴长为6,一个焦点坐标为. (I).求椭圆E 的标准方程 (II)一条直线l与椭圆E交于两个不同的点M,N,如果线段MN恰好被直线x= —平分，求直线l的倾斜角α的取值范围。 解 （1） 根据题意可设椭圆方程为，为半焦距， ， （2）由题意知，直线的倾斜角不可能为0和，设直线方程为 ， 即（1）， 设，，线段被直线平分 ，即（2） （2）代入（1）解得，即或，  倾斜角的取值范围是或 8．在平面直角坐标系中，过定点作直线与抛物线相交于两点，设动点、。 (1)求证：为定值； (2)若点是点关于坐标原点的对称点，求面积的最小值； (3)是否存在平行于轴的定直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由。 解：（1）当直线垂直于轴时，，因此（定值）；…………………………………………………………………………………….2分 当直线不垂直于轴时，设直线的方程为：， 由得 因此有为定值。…………………………………………………….5分 （2）。…………………….6分 当直线垂直于轴时，；……………….7分 当直线不垂直于轴时，由（1）知 因此， 。……………………………………………………………10分 综上，面积的最小值为。………………………………………11分 （3）设存在直线满足条件。中点，……………12分 ，因此以为直径的圆的半径，………………………………….13分 中点到直线的距离，…………………………...14分 所截弦长为：  ，…………………………………………..…16分 。…………………………………………………………………………….….18分 9.圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦。若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦称之为曲线的垂轴弦。已知椭圆C：。 （1）过椭圆C的右焦点作一条垂直于轴的垂轴弦，求的长度； （2）若点是椭圆C上不与顶点重合的任意一点，是椭圆C的短轴，直线分别交轴于点和点（如右图），求的值； （3）在（2）的基础上，把上述椭圆C一般化为，是任意一条垂直于轴的垂轴弦，其它条件不变，试探究是否为定值？（不需要证明）；请你给出双曲线中相类似的结论，并证明你的结论。 （1）由条件可知右焦点的坐标为 ……………. 1分 代入椭圆C的方程，得 ……. 3分 所以 ……………. 4分 （2）设 则 ……………. 6分 令则……………. 7分 同理可得：，…………….8分 在椭圆C：上，， 则……………. 10分 （3）点是椭圆C：上不与顶点重合的任意一点，是垂直于轴的垂轴弦，直线分别交轴于点和点，则。……… 12分 点是双曲线C：上不与顶点重合的任意一点，是垂直于轴的垂轴弦，直线分别交轴于点和点，则。……………. 14分 证明如下：设 则  令则 同理可得：， 在双曲线C：上，， 则…. 18分
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