三角恒等变换
【专题要点】两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，半角公式，积化和差、和差化积公式（不要求记忆）；三角公式的灵活运用，包括正用、逆用、变形使用等，运用公式进行化简、求值、证明以及解三角形或结合三角函数图象解题
【考纲要求】高考资源网
1．和与差的三角函数公式
（1）向量的数量积推导出两角差的余弦公式．高考资源网
（2）用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．高考资源网
（3）用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．
（4）体会化归思想的应用，能运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式的证明高考资源网
（5）理解以两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；高考资源网
2．简单的三角恒等变换高考资源网
运用上述公式进行简单的恒等变换，以引导学生推导半角公式，积化和差、和差化积公式（不要求记忆）作为基本训练，使学生进一步提高运用转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想，换元的思想，方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的应用高考资源网
【知识纵横】
11个三角恒等变换公式中，余弦的差角公式是其它公式的基础，由它出发，用-β代替β、±β代替β、α=β等换元法可以推导出其它公式。你能根据下图回顾推导过程吗？高考资源网
【教法指引】高考资源网
高考对三角恒等式部分的考查仍会是中低档题，无论是小题还是大题中出现都是较容易的．主要有三种可能：
（1）以小题形式直接考查：利用两角和与差以及二倍角公式求值、化简；
（2）以小题形式与三角函数、向量、解三角形等知识相综合考查两角和与差以及二倍角等公式；高考资源网
（3）以解答题形式与三角函数、向量、解三角形、函数等知识相综合考查，对三角恒等变换的综合应用也可能与解三角形一起用于分析解决实际问题的应用问题，主要考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力高考资源网
复习时，教师要教给学生注重对问题中角、函数名及其整体结构的分析，提高公式选择的恰当性，还要重视相关的思想方法，如数形结合思想、特值法、构造法、等价转换法等的总结和应用，这有利于缩短运算程序，提高解题效率高考资源网
【典例精析】
例1、利用和、差角余弦公式求、的值. 高考资源网
分析：把、构造成两个特殊角的和、差. 高考资源网
解：
点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：，要学会灵活运用. 高考资源网
例2、已知，是第三象限角，求的值.
解：因为，由此得
又因为是第三象限角，所以
所以
点评：注意角、的象限，也就是符号问题. 高考资源网
例2、利用和（差）角公式计算下列各式的值：高考资源网
（1）、；
（2）、；高考资源网
（3）、．高考资源网
解：分析：解此类题首先要学会观察，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象.
（1）、；高考资源网
（2）、；高考资源网
（3）、．
例3、化简高考资源网
解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？
思考：是怎么得到的？，我们是构造一个叫使它的正、余弦分别等于和的. 高考资源网
小结：本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用. 高考资源网
例4、（2007浙江理12）．已知，且，则的值是 ．
解：将两边平方得，高考资源网
所以，则，
又，所以，所以，高考资源网
故．高考资源网
例5、（2008年广东卷理12）.已知函数，，则的最小正周期是 ．
解：,此时可得函数的最小正周期．
例6.（2008年江苏卷15）．如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角,，它们的终边分别与单位圆相交于A,B 两点，已知A,B 的横坐标分别为．高考资源网
（1）求tan()的值；
（2）求的值．高考资源网
解：由条件的，因为,为锐角，所以=
因此高考资源网
（1）tan()=
（2） ，所以
∵为锐角，∴，∴=。
例7.（2008年福建卷17）已知向量m=(sinA,cosA),n=，m·n＝1，且A为锐角．
（1）求角A的大小；高考资源网
（2）求函数的值域．高考资源网
解：（1）由题意得
高考资源网
由A为锐角得
（2）由（1）知
所以
因为x∈R，所以，因此，当时，f(x)有最大值.高考资源网
当sinx=-1时，f(x)有最小值-3，所以所求函数f(x)的值域是．
例8、（2007年湖南卷文16）
已知函数．求：
(1)函数的最小正周期；
(2)函数的单调增区间．
解：
．
（1）函数的最小正周期是；高考资源网
（2）当，即（）时，函数是增函数，故函数的单调递增区间是（）．高考资源网
小结：本题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的性质以及推理和运算能力．
例9 、已知：高考资源网
（1）请说明函数的图象可由函数的图象经过怎样的变换得到；
（2）设函数图象位于y轴右侧的对称中心从左到右依次为A1、A2、A3、A4、…、…、，试求A4的坐标高考资源网
解：（1）
∴
所以函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到
（2）∵函数图象的对称中心为，高考资源网
由得函数的对称中心为，
依次取1，2，3，4……可得A1、A2、A3、A4……各点，
∴A4的坐标为
例10.求值：.
解：原式的分子高考资源网
，高考资源网
原式的分母＝
，高考资源网
所以，原式＝１．
小结：三角函数式的化简和求值，是训练三角恒等变换的基本题型，在化简和求值中，常用的方法有：切割化弦、异名化同名、角的配凑、拆项、降幂与升幂等．
例11.已知△ABC的三个内角A、B、C满足：A+C=2B，，求cos的值．
解：由题设条件知B=60°，A+C=120°，高考资源网
∵－=－2，
∴=－2．
将上式化简为cosA+cosC=－2cosAcosC，高考资源网
利用和差化积及积化和差公式，上式可化为高考资源网
2coscos=－［cos（A+C）+cos（A－C）］，
将cos=cos60°=，cos（A+C）=cos120°=－代入上式得cos=－cos（A－C），
将cos（A－C）=2cos2（）－1代入上式并整理得4cos2（）+2cos－3=0，
即［2cos－］［2cos+3］=0．
∵2cos+3≠0，∴2cos－=0．高考资源网
∴cos=．高考资源网
小结：本小题考查三角函数的基础知识，利用三角公式进行恒等变形和运算的能力．
例12.设向量，，函数.
（1）求函数的最小正周期；高考资源网
（2）求函数在上的单调增区间．
解：（1）∵ 高考资源网
=1+ 高考资源网
∴最小正周期是. 高考资源网
（2）解法：因为，
令 高考资源网
得函数在上的单调增区间为 高考资源网
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