第14章 常用逻辑用语
【专题要点】
（1）命题及其关系，命题及其逆命题、否命题与逆否命题.必要条件、充分条件与充要条件，分析四种命题的相互关系.
（2）简单的逻辑联结词，逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.
（3）全称量词与存在量词，全称量词与存在量词的意义，对含有一个量词的命题进行否定.
【考纲要求】 高考资源网
理解逻辑连接词“或”“且”“非”的含义；
理解四种命题及相互关系；
理解全称量词和存在量词；
掌握充分条件，必要条件，充要条件的意义.
【知识纵横】
【教法指引】
近几年的高考题中，常用逻辑用语部分以选择题为主要题型，往往与立体几何，三角，不等式相结合，估计2010年高考，该知识点仍是命题热点，复习时应加以重视，特别是全称量词与存在量词在高考试题中出现的几率很大，重点考查对全称量词与存在量词的理解、全称命题与存在命题的判断、两种命题的否定命题的写法等
【典例精析】
四种命题的关系高考资源网
关于逆命题、否命题、逆否命题，也可以有如下表述：
第一：交换原命题的条件和结论，所得的命题为逆命题；
第二：同时否定原命题的条件和结论，所得的命题为否命题；
第三：交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题为逆否命题；
例1（2009重庆卷文）命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（ ）
A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”
B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”
C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” 高考资源网
D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”
答案 B
解析 因为一个命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换，因此逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”高考资源网
例2(07重庆)命题：“若，则”的逆否命题是（ ）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
答案:D.
例3（2005年江苏卷）命题“若，则”的否命题为__________.
答案 若a≤b，则2a≤2b-1高考资源网
点评: 否命题不同于命题否定: 对命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定题设又否定结论.
2命题真假的判断
例4（07北京）对于函数①，②，
③.判断如下三个命题的真假：高考资源网
命题甲：是偶函数；命题乙：上是减函数，在区间上是增函数；命题丙：在上是增函数.能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（）
A.①③ B.①② C. ③ D. ②
答案: D
例5(08广东理)已知命题所有有理数都是实数，命题正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ D ）
A． B． C． D．
【解析】不难判断命题为真命题，命题为假命题，从而上述叙述中只有 为真命题.
点评: 真假判断（真值表）可概括为: p或q：同假为假，一真为真； p且q：同真为真，一假为假；非p： 真假相反，真假假真
例6（2009江西卷文）下列命题是真命题的为
A．若,则 B．若,则
C．若,则 D．若,则
答案：A
解析 由得,而由得,由,不一定有意义,而
得不到 故选A.
（山东卷）下列四个命题中，真命题的序号有 （写出所有真命题的序号）.
①将函数y=的图象按向量v=(－1,0)平移，得到的图象对应的函数表达式为y=
②圆x2+y2+4x+2y+1=0与直线y=相交，所得弦长为2
③若sin(+)= ,sin(－)=,则tancot=5
④如图，已知正方体ABCD- A1B1C1D1，P为底面ABCD内一动点，
P到平面AA1D1D的距离与到直线CC1的距离相等，则P点的轨迹是抛物线的一部分.
解：①错误，得到的图象对应的函数表达式应为y＝|x－2|
②错误，圆心坐标为（－2，1），到直线y=的距离为(半径2，故圆与直线相离，
③正确，sin(+)=＝sincos＋cossin，sin(－)＝sincos－cossin＝，两式相加，得2 sincos＝，两式相减，得2 cossin＝，故将上两式相除，即得tancot=5高考资源网
④正确，点P到平面AD1的距离就是点P到直线AD的距离，
点P到直线CC1就是点P到点C的距离，由抛物线的定义
可知点P的轨迹是抛物线。
2.全称命题和特称命题的否定高考资源网
全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是特称命题.但同一个特称或全称命题由于语言环境的不同,可有不同的表述方法,在实际应用中要灵活选择.
例7（2009天津卷理）命题“存在R，0”的否定是
A. 不存在R, >0 B. 存在R, 0
C. 对任意的R, 0 D. 对任意的R, >0
【考点定位】本小考查四种命题的改写，基础题
解析：由题否定即“不存在，使”，故选择D。
例8（07宁夏）已知命题：，则（ ）
A. B.
C. D.
答案:C.
例9(07山东)命题“对任意的”的否定是（ ）
A.不存在 B.存在
C.存在 D. 对任意的
答案:C.
3 充要条件的判断高考资源网
处理充分、必要条件问题时，首先要分清条件与结论，然后才能进行推理和判断．不仅要深刻理解充分、必要条件的概念，而且要熟知问题中所涉及到的知识点和有关概念．确定条件为不充分或不必要的条件时，常用构造反例的方法来说明．等价变换是判断充分、必要条件的重要手段之一，特别是对于否定的命题，常通过它的等价命题，即逆否命题来考查条件与结论间的充分、必要关系．对于充要条件的证明题，既要证明充分性，又要证明必要性，从命题角度出发，证原命题为真，逆命题也为真；求结论成立的充要条件可以从结论等价变形（换）而得到，也可以从结论推导必要条件，再说明具有充分性．对一个命题而言，使结论成立的充分条件可能不止一个，必要条件也可能不止一个．高考资源网
例10（2009安徽4）下列选项中，p是q的必要不充分条件的是高.考.资.源.网
（A）p:＞b+d , q:＞b且c＞d 高.考.资.源.网
（B）p:a＞1,b>1 q:的图像不过第二象限高.考.资.源.网
（C）p: x=1, q:高.考.资.源.网
（D）p:a＞1, q: 在上为增函数高.考.资.源.网
[解析]：由＞b且c＞d＞b+d，而由＞b+d ＞b且c＞d，可举反例。选A
点评: 要判断A是B的什么条件，只要判断由A能否推出B和由B能否推出A即可．
例11.（2009山东5） 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的
一条直线，则“”是“”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
【解析】由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的一条直线,,则,反过来则不一定.所以“”是“”的必要不充分条件.
点评: ．判断充要条件: 首先要分清谁是条件，谁是结论；然后再条件推结论，结论推条件，最后判定。高考资源网
例12．（2009北京5）“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知识、基本运算的考查. 高考资源网
当时，，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
反之，当时，有，
或，故应选A.
分析：简易逻辑考查重点是命题的真假情况，全称量词与存在量词，充要条件。全称量词与存在量词是新增内容，没有出现单独命题的情况，只是在大题中有体现。充要条件是近几年的高考的重点内容，它可与三角、立体几何、解析几何，不等式等知识联系起来综合考查
例13(湖南文)“”是“”的( )
A．充分不必要条件 B.必要不充分条件
C．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由得，所以易知选A. 高考资源网
点评:不等式解集问题可类比集合间的包含关系判断,大范围推出小范围.
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