推理与证明 【专题要点】 1.归纳推理:主要应用于先由已知条件归纳出一个结论,并加以证明或以推理作为题目的已知条件给出猜测的结论,并要求考生会应用或加以证明. 2.类比推理:通过两类事物的相似性或一致性,用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的结论.常见的有结论类比和方法类比.高考资源网 3.演绎推理 4.证明 ①综合法和分析法:会用这两种方法证明具体问题; ②反证法 近几年高考中加大了其考察力度. ③数学归纳法.在有关正整数的问题证明时常用数学归纳法进行证明. 【考纲要求】 1合情推理与演绎推理高考资源网 　　① 了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用. 　　② 了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理. 　　③ 了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异. 　　2直接证明与间接证明 　　① 了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点. 　　② 了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点. 　　3数学归纳法 　　了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 【知识纵横】  【教法指引】 高考的“推理与证明”一般不单独设题，主要和其他知识结合在一起，属于综合题，可以综合在诸如立体几何、解析几何、数列、函数、不等式等内容中，既有计算又有证明，解决此类题目时，一定要建立合理的解题思路，对典型的证明方法一定要掌握 在“推理与证明”的内容中，“合情推理”是一种重要的归纳，主要从已知条件归纳出一个结论，可以是形式上的归纳，也可以是数学性质的归纳，一般以客观题的形式出现；演绎推理则是逻辑思维能力的一个重要体现，试题中考查该部分内容的比例较大，命题时既可以使用选择题、填空题的形式，又可以在解答题型中，以证明题的形式进行考查，立体几何是考查“演绎推理”的最好教材高考资源网 “直接证明和间接证明”在高考中一般也不会直接命题，仍然是以其他知识为载体，在考查其他知识的同时，考查本部分内容，是每年高考的考查重点，几乎涉及数学的各方面知识，代表着研究性命题的发展趋势，选择题、填空题、解答题都可能涉及。该部分命题的方向主要在函数、三角恒等变换、数列、立体几何、解析几何等方面，主要以考查“直接证明”中的综合法为主。高考资源网 由于“数学归纳法”仅限于与自然数有关的命题，故单独命题的可能性不大，多数以数列及不等式为载体来综合考查。高考常见的题型有：证明等式问题、证明不等式问题、证明整除问题和解决数列中的探究性问题等，但不排除在客观题中考查数学归纳法的原理和证明步骤 【典例精析】 1. 考查类比推理 例1(2003年全国卷）在平面几何里，由勾股定理：“设的两边互相垂直，则”，拓展到空间，类比平面几何勾股定理，可以得到的正确的结论是：“设三棱锥的三个侧面两两互相垂直，则 ”。 解：如图，作，垂足为，连接．由三个侧面两两相互垂直可知．在中，，得，又； ； ． 所以  ． 点评:这道题目考察的是平面到空间的推广类比．解答这类题目不能只满足结论形式上的相似，还必须是真命题，结论的推导还是要从平面结论下手，一般在推导空间的结论时要用到平面的结论，或利用类似平面结论推导的方法，如等面积法类比等体积，直线类比作平面等． 例2(2009年浙江卷理科第15题)观察下列等式：高考资源网 ， ， ， ，高考资源网 ……… 由以上等式推测到一个一般的结论： 对于， ．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 答案： 【解析】这是一种需类比推理方法破解的问题，结论由二项构成，第二项前有，二项指数分别为，因此对于，  2.考查归纳推理 例3(2009年福建卷理科第16题) 五位同学围成一圈依序循环报数，规定： ①第一位同学首次报出的数为1.第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和； ②若报出的是为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次， 当第30个数被报出时，五位同学拍手的总次数为 高考资源网 答案：7次 【解析】这样得到的数列这是历史上著名的数列，叫斐波那契数列.寻找规律是解决问题的根本，否则，费时费力.首先求出这个数列的每一项除以3所得余数的变化规律，再求所求就比较简单了. 这个数列的变化规律是：从第三个数开始递增，且是前两项之和，那么有1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987……分别除以3得余数分别是1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0、2、2、1、0……由此可见余数的变化规律是按1、1、2、0、2、2、1、0循环，周期是8.在这一个周期内第四个数和第八个数都是3的倍数，所以在三个周期内共有6个报出的数是三的倍数，后面6个报出的数中余数是1、1、2、0、2、2，只有一个是3的倍数，故3的倍数总共有7个，也就是说拍手的总次数为7次. 例4(2008湖北，15）观察下列等式：    ……………………………………  可以推测，当x≥2（k∈N*）时， ak-2= . 解析：高考资源网     。 例5 (2008年江苏10)．将全体正整数排成一个三角形数阵： 按照以上排列的规律，第行（）从左向右的第3个数为 【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．前n－1 行共有正整数1＋2＋…＋（n－1）个，即个，因此第n 行第3 个数是全体正整数中第＋3个，即为． 【答案】高考资源网 3.证明 例6（2008江苏卷21）设a，b，c为正实数，求证：． 证明：因为为正实数，由平均不等式可得 即  所以， 而 所以  4反证法 反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得。反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明高考资源网 例7已知，，求证：不能同时大于。 证法一：假设三式同时大于，即，， ，三式同向相乘得，又同理， ，这与假设矛盾，故原命题得证。 证法二：假设三式同时大于，， 同理 三式相加得，这是矛盾的，故假设错误，所以原命题正确 点评：“不能同时大于”包含多种情形，不易直接证明，可用反证法证明。即正难则反 （1）当遇到否定性、唯一性、无限性、至多、至少、等类型问题时，常用反证法。 （2）用反证法的步骤是：①否定结论②而不合理 ③因此结论不能否定，结论成立高考资源网 5数学归纳法 数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有着广泛的应用。它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n＝1(或n )时成立，这是递推的基础；第二步是假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定“对任何自然数（或n≥n 且n∈N）结论都正确”。由这两步可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳的，属于完全归纳 运用数学归纳法证明问题时，关键是n＝k＋1时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题。 运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等高考资源网 例8（2007上海文、理）设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”． 那么，下列命题总成立的是（　D　） Ａ．若成立，则成立 Ｂ．若成立，则成立 Ｃ．若成立，则当时，均有成立 Ｄ．若成立，则当时，均有成立 【答案】D 【解析】 对A，当k=1或2时，不一定有成立；对B，应有成立； 对C，只能得出：对于任意的，均有成立，不能得出：任意的，均有成立；对D，对于任意的，均有成立。故选D。 例9设数列满足为实数 证明：对任意成立的充分必要条件是； 证明(1) 必要性 ： ，高考资源网 又  ，即 充分性 ：设 ，对用数学归纳法证明 当时，.假设高考资源网 则，且 ，由数学归纳法知对所有成立
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