计数原理(排列组合二项式) 【专题要点】 理解两个原理的含义，区别分类还是分布。 理解并掌握排列、组合的概念，熟记排列数与组合数公式并能用它们解决一些实际问题。 理解并掌握二项式定理的项数、指数、通项几个特征，并熟记它们的展开式。 能够运用展开式中的通项求展开式中的特定项。 应特别用方程、不等式和函数的观点来解决二项式定理中的有关问题，培养学生的归纳推理能力。高考资源网 【考纲要求】 1．掌握分类计数原理和分步计数原理的实质，理解并掌握排列 、组合的有关问题，能用它们计算和论证一些简单问题。 2.熟练掌握二项式定理及其通项公式、二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题。 【知识纵横】 【常用基本公式】高考资源网 （1）排列数公式：. 组合数公式： = .由于0！= 1，所以. ；. （2）二项式定理：(a + b)n = … +(n∈N*). 通项：在二项展开式中的叫做二项展开式的通项，用Tr + 1表示，即通项为展开式的第r + 1项：. 在二项式定理中，如果设a = 1，b = x，则得到公式：(1 + x)n =.若a = 1，b = –x，则得到公式：(1 – x)n = 1 – ++ … + (–1)n. 【教法指引】 1.排列、组合在高考试题中为必考点，但所占比例不大，一般为选择题和填空题，分值5分左右；近两年高考命题涉及到本节内容，单独考查某个知识点的题目减少，综合考查题目增加，创新题目增多，知识背景新颖，与实际生活结合更加紧密，难度略有增加. 2. 二项式定理的应用主要涉及利用通项公式求展开式的特定项，利用二项式的性质求多项式的系数和，利用二项式定理进行近似计算.题型以选择、填空为主，少有综合性的大题，本节是高考的必考内容. 近两年二项式定理考查知识点分布没有太大变化，灵活掌握通项公式，仍然是重点，另外分清某项、某项系数、某项二项式系数非常重要. 【典例精析】高考资源网 分类加法与分步乘法计数原理 例1.从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车,还可以乘轮船。一天中，火车有4班，汽车有2班，轮船有3班。那麽一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 【解析】因为一天中乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法，每一种走法都可以从甲地到乙地，因此，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有 4+2+3=9 种不同的走法。 例2.（2007·东城）某银行储蓄卡的密码是一个4位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位和个位上的数字（如2816）的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选0，并且千位、百位上都能取0.这样设计出来的密码共有（ ） A．90个 B．99个 C．100个 D．112个高考资源网 【解析】由于千位、百位确定下来后十位、个位就随之确定，则只考虑千位、百位即可，千位、百位各有10种选择，所以有10×10种=100种.故选C. 【答案】C 2．排列与组合高考资源网 例3. （2009北京卷文）用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为 （ ） A．8 B．24 C．48 D．120 【答案】C .w【解析】本题主要考查排列组合知识以及分步计数原理知识. 属于基础知识、基本运算的考查. 2和4排在末位时，共有种排法，高考资源网 其余三位数从余下的四个数中任取三个有种排法， 于是由分步计数原理，符合题意的偶数共有（个）.故选C. 例4. （2009全国卷Ⅰ理）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( D ) （A）150种 （B）180种 （C）300种 (D)345种 解: 分两类(1) 甲组中选出一名女生有种选法; . 高考资源网 (2) 乙组中选出一名女生有种选法.故共有345种选法.选D 例5. （2009四川卷文）2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是 A. 60 B. 48 C. 42 D. 36 【答案】B 【解析】解法一、从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有种不同排法），剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；则男生甲必须在A、B之间（若甲在A、B两端。则为使A、B不相邻，只有把男生乙排在A、B之间，此时就不能满足男生甲不在两端的要求）此时共有6×2＝12种排法（A左B右和A右B左）最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，所以，共有12×4＝48种不同排法。 解法二；同解法一，从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有种不同排法），剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；为使男生甲不在两端可分三类情况： 第一类：女生A、B在两端，男生甲、乙在中间，共有=24种排法； 第二类：“捆绑”A和男生乙在两端，则中间女生B和男生甲只有一种排法，此时共有＝12种排法 第三类：女生B和男生乙在两端，同样中间“捆绑”A和男生甲也只有一种排法。 此时共有＝12种排法 三类之和为24＋12＋12＝48种。. 高考资源网 3.二项式定理的通项公式 例6. （2009重庆卷理）的展开式中的系数是（ ） A．16 B．70 C．560 D．1120 【答案】 【解析】设含的为第， 所以，故系数为：，选D 4二项式定理的综合应用 例7.（2007·济南）(x2 + 1)(x – 2)9 = a0 + a1(x – 1) + a2(x – 1)2 + a3(x – 1)3 + … + a11(x – 1)11，则a1 + a2 + a3 + … +a11的值为 . 【解析】令x = 1，得2×(–1) 9 = a0， ① 令x = 2，得(22 + 1)·0 = a0 + a1 + …+a11， ② 联立①②知a1 + a2 + … +a11 = 2. 【答案】2 例8. 6.（2009陕西卷文）若,则的值为 A. 2 B.0 C. D.  答案 C 解析 由题意容易发现 ,则 , 同理可以得出 ,………高考资源网 亦即前2008项和为0, 则原式== 故选C. 高考资源网
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