概率 【专题要点】 1.等可能事件概率计算 2. 互斥事件至少有一个发生与相互独立事件同时发生概率计算 3．对立事件概率计算 4. 独立性重复试验概率计算及其概率分布与期望计算 5. 几何概型概率计算 6. 随机变量概率分布与期望计算 【考纲要求】 1.了解互斥事件、相互独立事件的意义， 会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事高考资源网 件的概率乘法公式计算一些事件的概率． 2.会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率． 3.了解离散型随机变量的意义，会求出某 些简单的离散型随机变量的分布列； 4.了解离散型随机变量的期望、方差的意 【知识纵横】高考资源网 【教法指引】 概率与统计试题是高考的必考内容。它是以实际应用问题为载体，以排列组合和概率统计等知识为工具，以考查对五个概率事件的判断识别及其概率的计算和随机变量概率分布列性质及其应用为目标的中档题，预计这也是今后高考概率统计试题的考查特点和命题趋向。 【典例精析】 1． 考查等可能事件概率计算高考资源网 在一次实验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等。如果事件A包含的结果有m 个，那么P（A）=  。这就是等可能事件的判断方法及其概率的计算公式。高考常借助不同背景的材料考查等可能事件概率的计算方法以及分析和解决实际问题的能力。 例1．（2009福建卷文）袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现一次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球 （I）试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果； （Ⅱ）若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率。 解：（I）一共有8种不同的结果，列举如下： （红、红、红、）、（红、红、黑）、（红、黑、红）、（红、黑、黑）、（黑、红、红）、（黑、红、黑）、（黑、黑、红）、（黑、黑、黑） （Ⅱ）记“3次摸球所得总分为5”为事件A 事件A包含的基本事件为：（红、红、黑）、（红、黑、红）、（黑、红、红）事件A包含的基本事件数为3高考资源网 由（I）可知，基本事件总数为8，所以事件A的概率为 . 例2．（2009安徽卷理）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于 （A） （B）  （C） （D） [解析] 如图，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这 6个点中任意选两个点连成直线，共有 种不同取法，其中所得的两条直线相互平行但不重合有  共12对，所以所求概率为，选D高考资源网 例3．（2009江苏卷）现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为 . 【解析】 考查等可能事件的概率知识。 从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件总数为10，它们的长度恰好相差0.3m的事件数为2，分别是：2.5和2.8，2.6和2.9，所求概率为0.2。 2 。 考查互斥事件至少有一个发生与相互独立事件同时发生概率计算 不可能同时发生的两个事件A、B叫做互斥事件，它们至少有一个发生的事件为A+B，用概率的加法公式计算。 事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，则A、B叫做相互独立事件，它们同时发生的事件为。用概率的法公式计算。高考常结合考试竞赛、上网工作等问题对这两个事件的识别及其概率的综合计算能力进行考查。高考资源网 例4．（2009年上海卷理）若事件与相互独立，且，则的值等于 （A） （B） （C） （D） 【答案】B 【解析】＝＝ 例5．（2009全国卷Ⅰ文） 甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束。假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立。已知前2局中，甲、乙各胜1局。 （Ⅰ）求再赛2局结束这次比赛的概率； （Ⅱ）求甲获得这次比赛胜利的概率。高考资源网 【解析】本小题考查互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率，综合题。 解：记“第局甲获胜”为事件，“第局甲获胜”为事件。 （Ⅰ）设“再赛2局结束这次比赛”为事件A，则 ，由于各局比赛结果相互独立，故 。 （Ⅱ）记“甲获得这次比赛胜利”为事件B，因前两局中，甲、乙各胜1局，故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而 ，由于各局比赛结果相互独立，故   . 3． 考查对立事件概率计算 必有一个发生的两个互斥事件A、B叫做互为对立事件。即或。用概率的减法公式计算其概率。 例6．（2009上海卷文）若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于1名的概率是 （结果用最简分数表示）。 【答案】 高考资源网 【解析】因为只有2名女生，所以选出3人中至少有一名男生，当选出的学生全是男生时有：，概率为:：，所以，均不少于1名的概率为：1－。 4．考查独立重复试验概率计算及其概率分布与期望计算 若在次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖其它各次试验的结果，则此试验叫做次独立重复试验。若在1 次试验中事件A发生的概率为P，则在次独立惩处试验中，事件A恰好发生次的概率为。 高考结合实际应用问题考查次独立重复试验中某事件恰好发生次的概率的计算方法和化归转化、分类讨论等数学思想方法的应用。 解决此类问题时，首先应明确随机变量可能取哪些值，然后按照相次独立重复试验中某事件恰好发生次的概率的计算方法去计算这些可能取值的概率值即可等到分布列，最后根据分布列和期望、方差公式去获解。以此考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念和运用概率知识解决实际问题的能力。 例7．.(2009湖南卷理)为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的.、、，现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设。 高考资源网 （I）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率； （II）记为3人中选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程的人数，求 的分布列及数学期望。 解:记第1名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件 ,,，i=1，2，3.由题意知相互独立，相互独立，相互独立，,,（i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同）相互独立，且P（）=，P（）=，P（）=高考资源网 他们选择的项目所属类别互不相同的概率 P=3！P（）=6P（）P（）P（）=6= (2) 解法1 设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为，由己已知，-B（3，），且=3。 所以P（=0）=P（=3）==，. P（=1）=P（=2）=  =  P（=2）=P（=1）==高考资源网 P（=3）=P（=0）=  =  故的分布是  0 1 2 3  P      的数学期望E=0+1+2+3=2 解法2 第i名工人选择的项目属于基础工程或产业工程分别为事件， i=1,2,3 ，由此已知，·D，相互独立，且 P（）-（，）= P（）+P（）=+= . 高考资源网 所以--,既， 故的分布列是   1 2 3         例8．（2009重庆卷理）（本小题满分13分，（Ⅰ）问7分，（Ⅱ）问6分） 某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：高考资源网 （Ⅰ）两种大树各成活1株的概率； （Ⅱ）成活的株数的分布列与期望． 高考资源网 解：设表示甲种大树成活k株，k＝0，1，2 　　表示乙种大树成活l株，l＝0，1，2 　　则，独立. 由独立重复试验中事件发生的概率公式有  ,  . 据此算得 　　 ,  ,  . .  ,  ,  . 高考资源网 (Ⅰ) 所求概率为 　　　　　. (Ⅱ) 解法一： 　　　　的所有可能值为0，1，2，3，4，且.  ,  ,  = ,  .  . 高考资源网 综上知有分布列  0 1 2 3 4  P 1/36 1/6 13/36 1/3 1/9  从而，的期望为  （株） 解法二： 分布列的求法同上 令分别表示甲乙两种树成活的株数，则  故有 . 高考资源网 从而知 5．考查几何概型概率计算 例9．(2009山东卷理)在区间[-1，1]上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为( ). A. B. C. D. 【解析】:在区间[-1，1]上随机取一个数x,即时,要使的值介于0到之间,需使或∴或，区间长度为，由几何概型知的值介于0到之间的概率为.故选A. 高考资源网 答案:A 【命题立意】:本题考查了三角函数的值域和几何概型问题,由自变量x的取值范围,得到函数值的范围,再由长度型几何概型求得. 例10．（2009福建卷文）点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于1的概率为 。 解析解析：如图可设,则,根据几何概率可知其整体事件是其周长，则其概率是。w。w.w.k.s.5.u.c.o.m 例11．（2009辽宁卷文）ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为 （A） （B） （C） （D） 【解析】长方形面积为2,以O为圆心,1为半径作圆,在矩形内部的部分(半圆)面积为 因此取到的点到O的距离小于1的概率为÷2＝ 取到的点到O的距离大于1的概率为 【答案】B 6． 考查随机变量概率分布与期望计算 解决此类问题时，首先应明确随机变量可能取哪些值，然后按照相互独立事件同时发生概率的公式去计算这些可能取值的概率值即可等到分布列，最后根据分布列和期望、方差公式去获解。以此考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念和运用概率知识解决实际问题的能力。 例12．（2009北京卷理）（本小题共13分） 某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min. （Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； （Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望. 【解析】本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型随机变量的分布列和期望等基础知识，考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力. （Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A的概率为. （Ⅱ）由题意，可得可能取的值为0，2，4，6，8（单位：min）. 事件“”等价于事件“该学生在路上遇到次红灯”（0，1，2，3，4）， ∴， ∴即的分布列是  0 2 4 6 8         ∴的期望是. 例13．.(2009山东卷理)(本小题满分12分) 在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A处的命中率q为0.25，在B处的命中率为q，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为  0 2  3  4  5   p 0.03  P1  P2 P3 P4  求q的值； 求随机变量的数学期望E;高考资源网 试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小。 解:（1）设该同学在A处投中为事件A,在B处投中为事件B,则事件A,B相互独立,且P(A)=0.25,, P(B)= q,. 根据分布列知: =0时=0.03,所以，q=0.8. （2）当=2时, P1= 高考资源网 =0.75 q( )×2=1.5 q( )=0.24 当=3时, P2 ==0.01, 当=4时, P3==0.48, 当=5时, P4=高考资源网 =0.24 所以随机变量的分布列为  0 2  3  4  5   p 0.03  0.24  0.01 0.48 0.24  随机变量的数学期望 （3）该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率为 ; 该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72. 由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大. 【命题立意】:本题主要考查了互斥事件的概率,相互独立事件的概率和数学期望,以及运用概率知识解决问题的能力.
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