平面向量 【专题要点】向量的概念、向量的表示方法、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、向量的加法和减法（向量的加法减法运算法则、坐标运算等）、实数与向量的积、向量共线定理、平面向量基本定理、向量的数量积（向量的定义、几何意义、运算律，相关公式结论等）、两向量平行、垂直的充要条件高考资源网 【考纲要求】高考资源网 1. 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义，理解向量的几何表示。高考资源网 2.掌握向量的加法和减法运算，并理解其几何意义，掌握向量的数乘运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义高考资源网 3.了解平面向量基本定理及其意义，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示，理解用坐标表示向量的加法和减法运算及数乘运算。高考资源网 4.了解平面向量的数量积与向量投影的关系，理解平面向量的数量积的含义及其物理意义，掌握平面向量的数量积的坐标表达式并会进行数量积的运算，能用数量积表示两向量的夹角，会用数量积判断两向量的垂直关系 5.会用向量法解决简单的平面几何问题。高考资源网 【知识纵横】  【教法指引】 本专题内容为每年高考必考内容，以选择题（填空题）+解答题的形式出现，分值在16-17分左右；向量具有代数形式与几何形式的“双重身份”，这使它成为中学数学知识的一个交汇点，也成为多项内容的媒介，在高考中主要考查有关的基础知识，突出向量的工具作用，对平面向量的考查主要其中在：（1）平面向量的性质和运算法则（2）向量的坐标表示，向量的线性运算（3）和其他数学知识结合在一起考查，如和曲线、数列等知识结合。这就要求我们在复习中应首先立足课本，打好基础，从数形两方面理解平面向量的相关知识，通过认识整个体系知识点，掌握本专题的内容，领会其中的数学思想，形成清晰的知识结构，明确各部分的基本知识，基本题型，基本方法和规律，强化易混、易漏、易错点的反思和感悟和针对性训练高考资源网 【典例精析】 例1、（2007上海）直角坐标系中，分别是与轴正方向同向的单位向量．在直角三角形中，若，则的可能值个数是（　　） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 解：如图，将A放在坐标原点，则B点坐标为(2,1)，C点坐标为(3,k)，所以C点在直线x=3上，由图知，只可能A、B为直角，C不可能为直角．所以 k 的可能值个数是2，选B高考资源网 点评：本题主要考查向量的坐标表示，采用数形结合法，巧妙求解，体现平面向量中的数形结合思想。高考资源网 例2、已知a是以点A(3,-1)为起点，且与向量b= (-3,4)平行的单位向量，则向量a的终点坐标是　　　　　　　　　　. 高考资源网 解：方法一 设向量a的终点坐标是(x,y),则a=(x-3,y+1)，则题意可知 ，故填 (,-)或(,-) 方法二　与向量b= (-3,4)平行的单位向量是±(-3,4)，高考资源网 故可得a＝±(-,)，从而向量a的终点坐标是(x,y)=a-(3,-1),便可得结果。 注 ：①向量的概念较多，且容易混淆，在学习中要分清、理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量、反向向量、单位向量等概念高考资源网 ②与a平行的单位向量e=±高考资源网 例3、已知|a|=1,|b|=1，a与b的夹角为60°, x=2a－b，y=3b－a,则x与y的夹角是多少？ 分析：要计算x与y的夹角θ，需求出|x|,|y|,x·y的值。计算时要注意计算的准确性。 解： 由已知|a|=|b|=1，a与b的夹角α为60°,得a·b=|a||b|cosα=。 要计算x与y的夹角θ，需求出|x|,|y|,x·y的值。高考资源网 ∵|x|2=x2=(2a－b)2=4a2－4a·b+b2=4－4×+1=3，高考资源网 |y|2=y2=(3b－a)2=9b2－6b·a+a2=9－6×+1=7. 高考资源网 x·y=(2a－b)·(3b－a)=6a·b－2a2－3b2+a·b =7a·b－2a2－3b2 =7×－2－3=－， 又∵x·y=|x||y|cosθ，即－=×cosθ ∴cosθ=－，θ=π－arccos。 即x与y的夹角是π－arccos高考资源网 注：①本题利用模的性质|a| 2=a2 ②在计算x,y的模长时，还可以借助向量加法、减法的几何意义获得：如图所示，设=b, =a, =2a,∠BAC=60°。由向量减法的几何意义，得=－=2a－b。由余弦定理易得||=，即|x|=，同理可得|y|=.高考资源网 例4、(2008湖南理)设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且则与( 　 ) A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直 解：由定比分点的向量式得:同理，有： 以上三式相加得高考资源网 所以选A. 高考资源网 点评：利用定比分点的向量式，及向量的运算，是解决本题的要点. 高考资源网 例5．已知是x,y轴正方向的单位向量，设=, =,且满足||+||=4. 高考资源网 （1）求点P(x,y)的轨迹C的方程. 高考资源网 （2）如果过点Q(0，m)且方向向量为 =(1,1) 的直线l与点P的轨迹交于A，B两点，当AOB的面积取到最大值时，求m的值高考资源网 解：(1) =, ||=,且||+||=4. 高考资源网  点P(x,y)到点(,0)，(-,0)的距离这和为4，故点P的轨迹方程为高考资源网 (2)设A(),B()依题意直线AB的方程为y=x+m.代入椭圆方程，得，则+=-m, =高考资源网 因此，高考资源网 当时，即m=时，高考资源网 [题设变式1] 已知是x,y轴正方向的单位向量，设=, =,且满足|||-|||=2.求点P(x,y)的轨迹C的方程.(轨迹为双曲线) [题设变式2] 已知是x,y轴正方向的单位向量，设=, =,且满足=||.求点P(x,y)的轨迹C的方程. 高考资源网 [提示：设K(-,0)，F (,0)，则表示在x轴上射影，即点P到x= -的距离，所以点P到定点F的距离与到定直线x= -的距离比为1，故点P的轨迹是以(,0)为焦点以x= -为准线抛物线] 例6.已知两点M(-2，0)，N(2，0)，动点P在y轴上的射影是H，如果 分别是公比q=2的等比数列的第三、第四项. 高考资源网 （1）求动点P的轨迹C的方程；高考资源网 （2）已知过点N的直线l交曲线C于x轴下方两个不同的点，A、B，设R为AB的中点，若过点R与定点Q(0，-2)的直线交x轴于点D(x0，0)， 求x0的取值范围. 高考资源网 解：（1）设P(x，y)，则H(0，y)，   又因为所以有高考资源网 所以点P的轨迹方程为y2-x2=4(x≠0). （2）设AB：y=k(x-2)，A(x1y1)，B(x2y2)，R(x3y3). 高考资源网  化简得(k2-1)x2-4k2x=4(k2-1)=0. 高考资源网  所以高考资源网 所以DQ的方程为 令y=0，得高考资源网  又由高考资源网  可得k2＞，由题意可知＜k＜1， 所以1＜＜，所以＜-()2+＜1， 所以2＜x0＜2+. 故所求的x0的取值范围为(2，2+).高考资源网 [题后反思]若改变q 的值能否构造出椭圆来呢？高考资源网 [当0＜q＜1时，点P的轨迹为椭圆] 例7.已知a=（cosα，sinα）,b=（cosβ,sinβ）(0<α<β<π)， （1）求证： a+b与a-b互相垂直； （2）若ka+b与a-kb的大小相等(k∈R且k≠0)，求β－α （1）证法一：∵a=（cosα，sinα）,b=（cosβ,sinβ）高考资源网 ∴a+b＝（cosα+cosβ，sinα+ sinβ）, a-b＝（cosα-cosβ，sinα- sinβ） ∴(a+b)·(a-b)=（cosα+cosβ，sinα+ sinβ）·（cosα-cosβ，sinα- sinβ） =cos2α-cos2β+sin2α- sin2β=0 ∴(a+b)⊥(a-b) 证法二：∵a=（cosα，sinα）,b=（cosβ,sinβ）　　　∴|a|＝1，|b|＝1 ∴(a+b)·(a-b)= a2-b2=|a|2-|b|2=0　　　　　　　　　　∴(a+b)⊥(a-b) 证法三：∵a=（cosα，sinα）,b=（cosβ,sinβ）∴|a|＝1，|b|＝1, 记＝a，＝b，则||＝||=1, 又α≠β，∴O、A、B三点不共线。高考资源网 由向量加、减法的几何意义，可知以OA、OB为邻边的平行四边形OACB是菱形，其中＝a+b，＝a-b，由菱形对角线互相垂直，知(a+b)⊥(a-b) 高考资源网 （2）解：由已知得|ka+b|与|a-kb|, 又∵|ka+b|2＝(kcosα+cosβ)2+(ksinα+sinβ)2=k2+1+2kcos(β－α), |ka+b|2＝(cosα-kcosβ)2+(sinα-ksinβ)2=k2+1-2kcos(β－α), ∴2kcos(β－α)= -2kcos(β－α) 高考资源网 又∵k≠0　　　∴cos(β－α)＝0高考资源网 ∵0<α<β<π　　∴0<β－α<π, ∴β－α=高考资源网 注：本题是以平面向量的知识为平台，考查了三角函数的有关运算，同时也体现了向量垂直问题的多种证明方法，常用的方法有三种，一是根据数量积的定义证明，二是利用数量积的坐标运算来证明，三是利用向量运算的几何意义来证明高考资源网 例8.将函数y=2x2进行平移，使得到的图形与抛物线y=－2x2+4x+2的两个交点关于原点对称，求平移后的函数解析式 解法一 设平移向量a=(h,k)，则将y=2x2按a平移之后得到的图像的解析式为y=2(x－h)2+k。高考资源网 设M′(m,n)和M′(－m,－n)是y=－2x2+4x+2与y=2(x－h)2+k的两个交点，则：　　　　解得：或 ∴点（1，4）和点（－1，－4）在函数y=2(x－h)2+k的图像上 ∴ 故所求解析式为：y=2(x+1)2－4，即y=2x2+4x－2高考资源网 解法二 将y=2x2按向量a=(h,k)平移，设P（x,y）为y=2x2上任一点，按a平移之后的对应点为P′(x′,y′)，则故高考资源网 ∴y－k=2(x－h)2是平移之后的函数图像解析式。高考资源网 由消去y得：4x2－4(h+1)x+2h2+k－2=0 又∵两交点关于原点对称　　∴x1+x2=0,即=0,h=－1 又y1+y2=0,　　　　　　　　∴2x12－4hx1+2+k+2x22－4hx2+2+k=0高考资源网 ∴2(x12+x22)+4(x1+x2)=－4－2k ∴2(x1+x2)2+4(x1+x2)－4x1·x1=－4－2k高考资源网 ∵x1·x2=， ∴－4×=－4－2k,　　　　∴k=－4 ∴y=2(x+1)2－4,即y=2x2+4x－2 注：定比分点和向量平移是向量中的两个重要内容，通过它们可以和平面解析几何、函数图像等其它章节辞知识相联系，成为知识的交汇点。在处理这类问题中，最关键的是“顺序”（定比分点中，要分清起点和终点；图像平移中，要分清哪一个到哪一个，然后结合公式解题）。 由平移公式可知，平移前的函数解析式y=f(x)按向量a=(h,k)平移后所得的函数解析式是y=f(x-h)+k 例9．（2000年北京春季高考题）设点A和B为抛物线y2=4x上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。 分析：本题解法很多，而构造向量解之，思路清晰，运算简捷，提高了解题速度，拓展了学生的思维空间，为学生今后解决解析几何问题又提供一种新思路 解：设M(x, y)，A(4, 4t1)，B(4, 4t2)， 其中x＞0，t1t2≠0且t1≠t2． ∴=(4, 4t1)，=(4, 4t2)， =(x, y)，=(4(－), 4(t2－t1))． ∵⊥， ∴4·4＋4t1·4t2=0，由t1t2≠0，可知 t1t2=－1 ⑴ ∵⊥， ∴x·4(－)＋y·4(t2－t1)=0，由t1≠t2，可知 t1＋t2=－ ⑵高考资源网 又∵A、B、M三点共线，∴//，高考资源网 而=－=(x－4, y－4t1)，=－=( x－4, y－4t2)， 由向量共线的充要条件，可知 (x－4)( y－4t2)=( y－4t1)( y－4t)， 化简，得x－(t1＋t2)y＋4t1t2=0 ⑶ 将⑴、⑵代入⑶式，可得点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2=4 (x＞0)，它表示与y轴切于原点的一个圆（不包括原点）高考资源网
【点此下载】