第13章 不等式
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1不等式的概念和性质是本部分内容的基础，要高度重视不等式的概念和性质，弄清每一个性质和结论，做到深刻理解并能够灵活应用。
2熟练掌握不等式的解法即含有参数的不等式的解法。解不等式是研究函数和方程的重要工具，在学习中不仅要注重不等式在研究函数与方程的工具作用，更要重视不等式、方程、函数三者之间的相互转化。
3均值不等式应用范围非常广泛，可与高中数学大部分章节的知识进行综合考查，但在高考中的考查却不外乎大小判断、求最值、求取值范围等。因此，把握均值不等式应用的前提以及均值不等式的构造是复习这个知识点的关键。
4重视不等式的综合应用。不等式单独命题较少，常在函数、数列、立体几何、解析几何和应用题解题过程中涉及，加强不等式的应用能力是提高解综合问题的关键，因此，在复习时应加强这方面知识和能力的训练，提高应用意识。
5注重思想方法的复习和应用。解决不等式问题中经常用到的思想方法有：等价转化思想、分论讨论思想、函数与方程的思想、化归思想等
总之，学习本章应做到立足基础、培养能力、有的放矢、重点突出、学会建模、提高素质。
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在《考试大纲》中，虽然没有对利用不等式解决实际问题和不等式在函数、方程、数列、解析几何、平面向量、导数、极限和概率与统计等方面的综合应用提出具体要求，但在解答高考题时，无处不涉及到不等式的有关知识，特别是综合性强的题更要以不等式作“工具”来解决．不等式的综合应用主要涉及以下三个方面:
1．建立函数关系，利用均值不等式求最值.根据题设条件建立函数关系式，并创设基本不等式应用背景．在应用均值不等式求最值时要注意的是“一正二定三等”，即求和（积）的最小值（最大值）时，必须使其积（和）为定值，并且要注意各项是否为正，确保等号成立的条件是否成立（即各项是否能相等）.
2．建立不等式求参数的取值范围.常见的问题有： ( l）在集合问题中的应用； (2）在方程（组）的解的讨论中的应用； (3）在函数、导数和数列问题中的应用； (4）在平面向量、解析几何和立体几何中的应用;(5) 在概率与统计中的应用等等．解决这类问题的基本方法是根据条件列出相关的不等式（组）解不等式，或利用函数单调性、均值不等式求其值域．
3．利用不等式解决实际问题.不等式的应用题大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围或解决一些实际应用问题，另一类是建立函数关系，利用均值不等式或函数的单调性求最值问题．应用不等式解题的关键是建立不等关系．解不等式应用问题步骤：审题，建立不等模型，利用不等式有关知识解题．解决问题的具体模式如下:
现实世界中的实际问题不等式模型
实际问题的解 不等式的解高考资源网
1.不等式与方程
例1 (2007广东) 已知a是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求a的取值范围.
解：若 , ,显然在上没有零点, 所以 .
令 , 解得
①当 时, 恰有一个零点在上;
②当，即时，在
上也恰有一个零点.
③当在上有两个零点时, 则
或
解得或
综上所求实数的取值范围是 或 . 高考资源网
2.不等式与数列
例2(2008安徽卷21）设数列满足为实数
（Ⅰ）证明：对任意成立的充分必要条件是；
（Ⅱ）设，证明：;
（Ⅲ）设，证明：
解 (1) 必要性 ： ，
又 ，即
充分性 ：设 ，对用数学归纳法证明
当时，.假设
则，且
，由数学归纳法知对所有成立
(2) 设 ，当时，，结论成立
当 时，
,由（1）知，所以 且
(3) 设 ，当时，，结论成立
当时，由（2）知
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3.不等式与解析几何
例3 (2008年全国Ⅱ理科21文科22）高考)设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)、B(0,1)是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相较于E、F两点.
(Ⅰ)若 ,求k的值；
(Ⅱ)求四边形AEBF面积的最大值.
解：（Ⅰ）依题设得椭圆的方程为，
直线的方程分别为，．
如图，设，其中，高考资源网
且满足方程，
故．①
由知，得；
由在上知，得．
所以，
化简得，
解得或．
（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点到的距离分别为，
．
又，所以四边形的面积为
，
当，即当时，上式取等号．所以的最大值为．
解法二：由题设，，．
设，，由①得，，高考资源网
故四边形的面积为
，
当时，上式取等号．所以的最大值为．
4.不等式与概率统计
例4（2006辽宁卷）现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为、、;已知乙项目的利润与产品价格的调整有关,在每次调整中价格下降的概率都是,设乙项目产品价格在一年内进行2次独立的调整,记乙项目产品价格在一年内的下降次数为,对乙项目每投资十万元, 取0、1、2时, 一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元.随机变量、分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润.
(I) 求、的概率分布和数学期望、;
(II) 当时,求的取值范围.
分析 解决问题的关键是准确求出事件的分布列. 高考资源网
解 (I)的概率分布为
1.2
1.18
1.17
p
E=1.2+1.18+1.17=1.18.
由题设得,则的概率分布为
0
1
2
P
故的概率分布为
1.3
1.25
0.2
P
∴的数学期望为
E=++=.
(II) 由,得:
.∵0b>0,d>c>0,则
答案: C
4.已知集合，集合，则集合 （ ）
A. B. C. D.
解 选C. ,,.
5.设f(x)= 则不等式f(x)>2的解集为 ( )
A. B. C. D.
解:由已知得或即或也即或解得或.故选C. 高考资源网
6. 下列结论正确的是 （ ）高考资源网
A．当 B．
C．的最小值为2 D．当无最大值
答案:Ｂ
７. (2005福建)设的最小值是 （ ）
A． B． C．－3 D．
答案：Ｃ
8.不等式的解集是 ．高考资源网
答案:（0，2）
9.（2009浙江理）若实数满足不等式组则的最小值是 ．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
答案：4
【解析】通过画出其线性规划，可知直线过点时，
10.（山东卷16）若不等式｜3x-b｜＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b的取值范围 。
答案: （5，7）. 高考资源网
11. (2005北京)经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度v（千米/小时）之间的函数关系为：．
(1)在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到千辆/小时）
（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？
解：（Ⅰ）依题意，
（Ⅱ）由条件得高考资源网
整理得v2－89v+1600<0,
即（v－25）（v－64）<0,解得25
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