导数及其应用 【专题测试】 一、选择题高考资源网 1、函数f(x)=x3+ax+1在（-∞,-1）上为增函数，在（-1，1）上为减函数，则f(1)为( ) A B.1 C. D.-1 2、设则( ) A sinx B –sinx C cosx D -cosx 3、设函数是上以5为周期的可导偶函数，则曲线在的切线的斜率为（ ）高考资源网 Ａ．??????? Ｂ．????????? Ｃ．????????? Ｄ． 4设在内单调递增，，则是的 （　　） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 5、曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ） A． B． C． D． 6、在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 二、填空题 7、若函数有且仅有一个极值点，求实数的取值范围 8、已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，，则 ___． 9、已知曲线，则_____________。高考资源网 10、P是抛物线上的点，若过点P的切线方程与直线垂直，则过P点处的切线方程是____________。 三、解答题 11、已知函数，其中. （Ⅰ）若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式； （Ⅱ）讨论函数的单调性； （Ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围. 12、如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形 面积为． （I）求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域； （II）求面积的最大值． 高考资源网  13. 设函数满足： 都有，且时，取极小值 （1）的解析式；高考资源网 （2）当时，证明：函数图象上任意两点处的切线不可能互相垂直。 14. 已知函数； （1）求曲线在处的切线方程； （2）设，如果过点可作曲线的 三条切线；求证： 16.甲、乙两地相距千米，汽车从甲地匀速驶到乙地，速度不得 超过千米/小时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变 部分和固定部分组成，可变部分与速度(km/h)的平方成正比， 比例系数为,固定部分为元. （1）把全程运输成本(元)表示为(km/h)的函数，并指出这个 函数的定义域； （2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 17. 已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同． （I）用表示，并求的最大值； （II）求证：（）．高考资源网 参考答案 一、选择题 1、（C）2、（A）3、（B）4、（B）5、（A）6、（D） 二、填空题 7、8、329、10、2x-y-1=0 三、解答题 11、解：（Ⅰ），由导数的几何意义得，于是． 由切点在直线上可得，解得． 所以函数的解析式为． （Ⅱ）． 当时，显然（）．这时在，内是增函数． 当时，令，解得．高考资源网 当变化时，，的变化情况如下表：          ＋ 0 － － 0 ＋   ↗ 极大值 ↘ ↘ 极小值 ↗  所以在，内是增函数，在，(0,)内是减函数． （Ⅲ）由（Ⅱ）知，在上的最大值为与中的较大者，对于任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，即，对任意的成立． 从而得，所以满足条件的的取值范围是． 12 (I)依题意，以的中点为原点建立直角坐标系（如图），则点的横坐标 为．点的纵坐标满足方程， 解得 　　则，其定义域为． 　　（II）记，则．令 ，得．高考资源网 　　因为当时，；当时，，所以是的 最大值． 　　因此，当时，也取得最大值，最大值为．即梯形面积 的最大值为． 点评：在求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先求出自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域。如果定义域是一个开区间，函数在定义域内可导（一般初等函数在自己的定义域内必可导），且此函数在这一开区间内有最大（小）值，那么只要对函数求导，当发现定义域内只有一个极值点时，立即可以断定在这个极值点处的函数值就是最大（小）值。如果定义域是闭区间，则必须对该点处的函数值与端点处的函数值进行比较才能确定 13. 解：（1） 都有 在上恒成立高考资源网  时，取极小值    得时，取极小值 （2）当时， 函数图象上的点切线斜率 任取 则 得：函数图象上任意两点处的切线不可能互相垂直。 14. 解：（1） 得曲线在处的切线 曲线在处的切线方程为 即 （2）由（1）得：过点作曲线的切线满足： 高考资源网 过点可作曲线的三条切线 关于方程有三个不同的根（*）   当时，单调递增 当时，单调递增 当时，单调递减 （*） 15. 解：（1）由题意得： （2）高考资源网 ①当时，单调递减 得：当时，取最小值 ②当时， 当时，取最小值 17.解：（Ⅰ）设与在公共点处的切线相同． ，，由题意，． 即由得：，或（舍去）． 即有． 令，则．于是 当，即时，；高考资源网 当，即时，． 故在为增函数，在为减函数， 于是在的最大值为． （Ⅱ）设， 则． 故在为减函数，在为增函数，高考资源网 于是函数在上的最小值是． 故当时，有，即当时，． 点评:本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．
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