立体几何初步
【专题测试】
一、选择题：高考资源网
1、圆台的一个底面周长是另一个底面周长的倍，母线长为，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为（ ）
（A） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
2、如图1，在空间四边形ABCD中，点E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且＝＝，则（ ） 高考资源网
（A）EF与GH互相平行 高考资源网 （B）EF与GH异面
（C）EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上 （D）EF与GH的交点M一定在直线AC上
3、下列说法正确的是（ ）
（A）直线平行于平面α内的无数直线，则∥α （B）若直线在平面α外，则∥α
（C）若直线∥b，直线bα，则∥α （D）若直线∥b，直线bα，那么直线就平行平面α内的无数条直线
4、右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）
A． B． C． D．
5、设是两条直线，是两个平面，
则的一个充分条件是 （ ）
(A) (B)
(C) (D) 高考资源网
6、如图，下列四个正方体图形中，为正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，
能得出平面的图形的序号是（ ）．（A）①④（B）②④（C）①③④（D）
①③高考资源网
7、如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成的角的余弦值是（ ）
（A） （B） （C） （D）
8、如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（ ）高考资源网
A. B. C. D.
9、在△ABC中，,若使绕直线旋转一周，则所形成的几何体的体积是（ ）A. B. C. D.
10、如图，在长方体中，AB＝10，AD＝5，＝4。分别过BC、的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为，，。若，则截面的面积为( ) （A） （B） （C）20 （D）
11、连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于2、4，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：
①弦AB、CD可能相交于点M ②弦AB、CD可能相交于点N ③MN的最大值为5 ④MN的最小值为l
其中真命题的个数 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12、某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为（ ）A. B. C. D. 高考资源网
二、填空题
13、一个正方体的各定点均在同一球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的表面积为 .
14、已知、是两个不同的平面，m、n是平面及平面之外的两条不同直线，给出四个论断：①m∥n，②∥，③m⊥，④n⊥，以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：＿＿＿＿
15、如图，正方体中，M、N、P、Q、R、S分别是AB、BC、、、、的中点，则下列判断：（1）PQ与RS共面；（2）MN与RS共面；（3）PQ与MN共面；则正确的结论是＿＿＿＿＿高考资源网
16、等边三角形与正方形有一公共边，二面角的余弦值为，分别是的中点，则所成角的余弦值等于
三、解答题：高考资源网
17.（2008北京卷16）如图，在三棱锥中，，，．
（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的大小；（Ⅲ）求点到平面的距离．
18.如图，在五面体中，点是矩形的对角线的交点，面是等边三角形，棱．高考资源网
证明//平面；
设，证明平面．
19.（07江苏）如图，已知是棱长为的正方体，点在上，点在上，且．高考资源网
（1）求证：四点共面；（4分）；（2）若点在上，，点在上，，垂足为，求证：平面；（4分）；（3）用表示截面和侧面所成的锐二面角的大小，求．
20.如图，在长方体AC1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动.（1）证明：D1E⊥A1D；
当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；（3）AE等于何值时，二面角D1—EC—D的大小为.
21.（07福建?理?18题）如图，正三棱柱的所有棱长都为2，D为中点。
（Ⅰ）求证：AB1⊥面A1BD；（Ⅱ）求二面角的大小；
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
D
D
B
C
D
C
D
A
C
C
C
1、A解：依题意设设圆台上、底面半径分别为r、3r，则有（r＋3r）·3＝84，解得：r＝7，故选（A）
2、D解：依题意，可得EH∥BD，FG∥BD，故EH∥FG，由公理2可知，E、F、G、H共面，因为EH＝BD，＝，故EH≠FG，所以，EFGH是梯形，EF与GH必相交，设交点为M，因为点M在EF上，故点M在平面ACB上，同理，点M在平面ACD上，即点M是平面ACB与平面ACD的交点，而AC是这两个平面的交线，由公理3可知，点M一定在平面ACB与平面ACD的交线AC上选（D）高考资源网
3、D解：如图，当α时，在α内可以作无数直线与平行，但与α不平行，故（A）（C）都错。一条直线在平面外，可能与平面平行，也可能与平面相交，故（B）错。
4、B解：从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其表面及为
。5、C解：A、B、D直线可能平行，选C．
6、D解：①取前面棱的中点，证AB平行平面MNP即可；③可证AB与MP平行
7、（C） 解：以D为原点，DA所在直线为x轴，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），M（1，,1），C（0，1，0），N（1，1，），＝（0，,1），＝（1，0，），cos==高考资源网
8、D 9.A 解：
10、（C） 解：V1＝V3，可得AE＝B1E1，设AE＝x，则（x×4×5）：［（10－x）×4×5］＝1：3，得：x＝4，则A1E＝＝4，所以，截面的面积为20
11、. 解：①③④正确，②错误。易求得、到球心的距离分别为3、2，若两弦交于，则⊥，中，有，矛盾。当、、共线时分别取最大值5最小值1
12、C解：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算。如图设长方体的高宽高分别为，由题意得高考资源网
，，，所以
，
当且仅当时取等号
二、填空题 13、24解：由得，所以，表面积为.
14、②③④① 解：同垂直于一个平面的两条直线互相平行，同垂直于两个平行平面的两条直线也互相平行
15、（1）、（3） 解：可证PQ与RS平行，从而共面，NQ与PM平行，也共面，故（1）、（3）正确，MN与RS是异面直线，故（2）错高考资源网
16、.解：设，作，则，为二面角的平面角
，结合等边三角形高考资源网
与正方形可知此四棱锥为正四棱锥，则 ,
故所成角的余弦值高考资源网
⒘解法一：（Ⅰ）取中点，连结．，．，．
，平面．平面，．
（Ⅱ），，．又，．
又，即，且，平面．取中点．连结．
，．是在平面内的射影，．
是二面角的平面角．在中，，，，．二面角的大小为．高考资源网
（Ⅲ）由（Ⅰ）知平面，平面平面．过作，垂足为．
平面平面，平面．的长即为点到平面的距离．
由（Ⅰ）知，又，且，平面．平面，．
在中，，，高考资源网
．． 点到平面的距离为．高考资源网
解法二：（Ⅰ），，．又，．
，平面．平面，．
（Ⅱ）如图，以为原点建立空间直角坐标系．则．
设．，，．取中点，连结．
，，，．是二面角的平面角．
，，，高考资源网
．二面角的大小为．
（Ⅲ），在平面内的射影为正的中心，且的长为点到平面的距离．
如（Ⅱ）建立空间直角坐标系．，点的坐标为．．高考资源网
点到平面的距离为．
⒙证明：（Ⅰ）取CD中点M，连结OM.在矩形ABCD中，，又，则，高考资源网
连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形. 又平面CDE， EM平面CDE，∴ FO∥平面CDE
（Ⅱ）证明：连结FM，由（Ⅰ）和已知条件，在等边△CDE中，且.
因此平行四边形EFOM为菱形，从而EO⊥FM而FM∩CD=M，
∴CD⊥平面EOM，从而CD⊥EO. 而，所以EO⊥平面CDF. 高考资源网
⒚证明：（1）建立如图所示的坐标系，则，，，
所以，故，，共面．又它们有公共点，所以四点共面．
（2）如图，设，则，而，由题设得，高考资源网
得．因为，，有，又，，所以，，从而，．故平面．
（3）设向量截面，于是，．
而，，得，，解得，，所以．又平面，所以和的夹角等于或（为锐角）．高考资源网
于是． 故．
⒛解析：法1（1）∵AE⊥面AA1DD1，A1D⊥AD1，∴A1D⊥D1E
（2）设点E到面ACD1的距离为h，在△ACD1中，AC=CD1=，AD1=，
故
过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，则D1H⊥CE，
∴∠DHD1为二面角D1—EC—D的平面角. 高考资源网
设AE=x，则BE=2－x
法2：以D为坐标原点，直线DA、DC、DD1分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1(1，0，1)，D1(0，0，1)，E(1，x，0)，A(1，0，0), C(0，2，0).（1）
（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而，，
设平面ACD1的法向量为，则也即，得，
从而，所以点E到平面AD1C的距离为
（3）设平面D1EC的法向量，∴
由 令b=1, ∴c=2, a=2－x，
∴依题意
∴（不合，舍去）， .∴AE=时，二面角D1—EC—D的大小为.
21.解答：解法一：（Ⅰ）取中点，连结．为正三角形，．
正三棱柱中，平面平面，平面．
连结，在正方形中，分别为的中点， ， ．
在正方形中，， 平面．
（Ⅱ）设与交于点，在平面中，作于，连结，由（Ⅰ）得平面．
，为二面角的平面角．
在中，由等面积法可求得，又， ．
所以二面角的大小为．
（Ⅲ）中，，．
在正三棱柱中，到平面的距离为．设点到平面的距离为．
由得， ．点到平面的距离为．W.w.w. ks5u. C.o.m
解法二：（Ⅰ）取中点，连结．为正三角形，．
在正三棱柱中，平面平面， 平面．取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，，，．
，， ，． 平面 ．W.w.w. ks5u. C.o.m
（Ⅱ）设平面的法向量为．，．
，，
令得为平面的一个法向量．
由（Ⅰ）平面， 为平面的法向量．，．www.ks5u.com
二面角的大小为．
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