集合 【学法导航】 集合知识可以使我们更好地理解数学中广泛使用的集合语言，并用集合语言表达数学问题，运用集合观点去研究和解决数学问题。高考资源网 1．学习集合的基础能力是准确描述集合中的元素，熟练运用集合的各种符号，如
、
、
、
、=、
A、∪，∩等等； 2．强化对集合与集合关系题目的训练，理解集合中代表元素的真正意义，注意利用几何直观性研究问题，注意运用Venn图解题方法的训练，加强两种集合表示方法转换和化简训练；解决集合有关问题的关键是准确理解集合所描述的具体内容（即读懂问题中的集合）以及各个集合之间的关系，常常根据“Venn图”来加深对集合的理解，一个集合能化简（或求解），一般应考虑先化简（或求解）； 3．确定集合的“包含关系”与求集合的“交、并、补”是学习集合的中心内容，解决问题时应根据问题所涉及的具体的数学内容来寻求方法。 ① 区别∈与
、
与
、a与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}； ② A
B时，A有两种情况：A＝φ与A≠φ。 ③若集合A中有n
个元素，则集合A的所有不同的子集个数为
，所有真子集的个数是
－1, 所有非空真子集的个数是

④区分集合中元素的形式： 如
；
；
；
；
；
；
。 ⑤空集是指不含任何元素的集合。
、
和
的区别；0与三者间的关系。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。条件为
，在讨论的时候不要遗忘了
的情况。 高考资源网 ⑥符号“
”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现点与直线（面）的关系 ；符号“
”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现面与直线(面)的关系
【典例精析】 1.对集合中有关概念的考查 例1第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是 （ ） A．A
B B．B
C C．A∩B=C D．B∪C=A 分析：本例主要考查子集的概念及集合的运算． 解析：易知选D． 点评：本题是典型的送分题，对于子集的概念，一定要从元素的角度进行理解．集合与集合间的关系，寻根溯源还是元素间的关系．高考资源网 2.对集合性质及运算的考查 例2．已知
，
，
，则 ( ) A．
B．
C．
D．
分析：本题主要考查集合的并、交、补的运算以及集合间关系的应用． 解析：由
，
，
，故选B． 点评：对集合的子、交、并、补等运算，常借助于文氏图来分析、理解．高中数学中一般考查数集和点集这两类集合，数集应多结合对应的数轴来理解，点集则多结合对应的几何图形或平面直角坐标系来理解． 3.对与不等式有关集合问题的考查 例3．已知集合
，则集合
为 ( ) A．
B．
C．
D．
分析：本题主要考查集合的运算，同时考查解不等式的知识内容．可先对题目中所给的集合化简，即先解集合所对应的不等式，然后再考虑集合的运算．高考资源网 解析：依题意：
，∴
， ∴

故选C． 点评：同不等式有关的集合问题是高考命题的热点之一，也是高考常见的命题形式，且多为含参数的不等式问题，需讨论参数的取值范围，主要考查分类讨论的思想，此外，解决集合运算问题还要注意数形结合思想的应用． 4.对与方程、函数有关的集合问题的考查 例4．已知全集
，集合
，
，则集合
中元素的个数为 （ ） A．1 B．2 C．3 D．4 分析：本题集合A表示方程的解所组成的集合，集合B表示在集合A条件下函数的值域，故应先把集合A、B求出来，而后再考虑
． 解析：因为集合
，所以
，所以
故选B． 点评：在解决同方程、函数有关的集合问题时，一定要搞清题目中所给的集合是方程的根，或是函数的定义域、值域所组成的集合，也即要看清集合的代表元素，从而恰当简化集合，正确进行集合运算． 【专题综合】 1. 对新定义问题的考查高考资源网 例1．（2008江西卷理2）定义集合运算：
设
,
,则集合
的所有元素之和为 （ ） A．0 B．2 C．3 D．6 分析：本题为新定义问题，可根据题中所定义的
的定义，求出集合
，而后再进一步求解．高考资源网 解析：由
的定义可得：
，故选D． 点评：近年来，新定义问题也是高考命题的一大亮点，此类问题一般难度不大，需严格根据题中的新定义求解即可，切忌同脑海中已有的概念或定义相混淆． 【专题突破】 1．满足M
｛a1, a2, a3, a4｝,且M ∩｛a1 ,a2, a3｝={a1·a2}的集合M的个数是（ ） （A）1　　　　　　　(B)2 (C)3 (D)4 2．（2008年广东卷，数学文科，1）第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}。集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是（ ） A.A
B B.B
C C.A∩B=C D.B∪C=A高考资源网 3．设集合
，则
( ) （Ａ）
　　　　　（Ｂ）
　　　　　（Ｃ）
　　　　　（Ｄ）
4．（2008年天津卷，数学理科，6）设集合

，则
的取值范围是 (A)
(B)
(C)
或
(D)
或
二.填空题： 1.（ 江苏省盐城中学2008年高三上学期第二次调研测试题，数学，1）已知集合
，

，则
= . 高考资源网 2.已知集合
，
，若
； 则实数m的取值构成的集合为
高考资源网 3. 已知集合
，
，则
． 三.解答题： 1.设
，
，问是否存在非零整数
，使
？若存在，请求出
的值及
；若不存在，请说明理由
高考资源网 答案： 一.选择题： 1.〖解析〗本小题主要考查集合子集的概念及交集运算。集合
中必含有
,则
或
〖答案〗B高考资源网 2.〖解析〗本题考查对集合概念的理解，易知B∪C=A， 〖答案〗D. 3.〖解析〗此题重点考察集合的交集，补集的运算；画韦恩氏图，数形结合；∵
∴
又∵
∴
〖答案〗B高考资源网 4.〖解析〗本题以集合为背景，求解参数的范围
， 所以
〖答案〗A高考资源网 二.填空题： 1.〖解析〗考查本题对集合的表示及交集的计算，
，

，故
=
高考资源网 2.
3.
三.解答题： 解：
在
上有解
在
上有解


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