三角恒等变换 【学法导航】高考资源网 1.三角函数的化简与求值、证明的难点在于众多三角公式的灵活运用和解题突破口的合理选择，要认真分析所给式子的整体结构，分析各个三角函数及角的相互关系是灵活选用公式的基础，是恰当寻找解题思维起点的关键所在
高考资源网 （1）化简，要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，次数尽量底，分母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的求出值来； （2）求值，要注意象限角的范围、三角函数值的符号之间联系与影响，较难的问题需要根据上三角函数值进一步缩小角的范围
高考资源网 （3）证明是利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边，或右边变同于，或都将左右进行变换使其左右相等
2.对于三角变换公式务必要知道其推导思路，从而清晰地“看出”它们之间的联系，它们的变化形式.如
，
等.从而可做到:正用、逆用、变形用自如使用各公式；三角变换公式除用来化简三角函数式外，还为研究三角函数图象及性质做准备。 3.三角函数恒等变形的基本策
。高考资源网 ①常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。 ②项的分拆与角的配凑。如分拆项：
; 配凑角(常用角变换):
、
、
、
、
等. ③降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次
高考资源网 ④化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。高考资源网 ⑤引入辅助角。asinθ+bcosθ=
sin(θ+
)，这里辅助角
所在象限由a、b的符号确定，
角的值由tan
=
确定。高考资源网 4. 三角恒等变换过程与方法，实际上是对三角函数式中的角、名、形的变换， 即（1）找差异：角、名、形的差别；（2）建立联系：角的和差关系、倍半关系等，名、形之间可以用哪个公式联系起来；（3）变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变形后运用或逆用公式，如升、降幂公式， cosα= cosβcos（α-β）- sinβsin（α-β） ，1= sin2α+cos2α，
=
=tan（450+300）等。高考资源网 【专题综合】高考资源网 例1. （05天津）已知
，求
及
． 解：解法一：由题设条件，应用两角差的正弦公式得高考资源网
，即
① 由题设条件，应用二倍角余弦公式得高考资源网
故
② 由①和②式得
，
高考资源网 因此，
，由两角和的正切公式高考资源网
高考资源网 解法二：由题设条件，应用二倍角余弦公式得
， 解得　　
，即
高考资源网 由
可得
高考资源网 由于
，且
，故(在第二象限于是
， 从而
以下同解法一高考资源网 小结：1、本题以三角函数的求值问题考查三角变换能力和运算能力，可从已知角和所求角的内在联系（均含
）进行转换得到．高考资源网 2、在求三角函数值时，必须灵活应用公式，注意隐含条件的使用，以防出现多解或漏解的情形． 例2. 已知
为锐角
的三个内角，两向量
，

，若
与
是共线向量. 高考资源网 （1）求
的大小； （2）求函数
取最大值时，
的大小. 解：（1）
高考资源网


，
高考资源网 （2）


高考资源网
．高考资源网 小结：三角函数与向量之间的联系很紧密，解题时要时刻注意
高考资源网 例3. 设关于x的方程sinx＋
cosx＋a＝0在(0, 2π)内有相异二解α、β. (1)求α的取值范围; (2)求tan(α＋β)的值. 高考资源网 解: (1)∵sinx＋
cosx＝2(
sinx＋
cosx)＝2 sin(x＋
), ∴方程化为sin(x＋
)＝－
.高考资源网 ∵方程sinx＋
cosx＋a＝0在(0, 2π)内有相异二解, 高考资源网 ∴sin(x＋
)≠sin
＝
. 高考资源网 又sin(x＋
)≠±1 (∵当等于
和±1时仅有一解), 高考资源网 ∴|－
|<1 . 且－
≠
. 即|a|<2且a≠－
. 高考资源网 ∴ a的取值范围是(－2, －
)∪(－
, 2). 高考资源网 (2) ∵α、 β是方程的相异解, ∴sinα＋
cosα＋a＝0 ①. 高考资源网 sinβ＋
cosβ＋a＝0 ②. ①－②得(sinα－ sinβ)＋
( cosα－ cosβ)＝0. 高考资源网 ∴ 2sin
cos
－2
sin
高考资源网 sin
＝0, 又sin
≠0, 高考资源网 ∴tan
＝
. ∴tan(α＋β)＝
＝
.高考资源网 小结：要注意三角函数实根个数与普通方程的区别，这里不能忘记(0, 2π)这一条件. 例4.
中，已知内角
，边
.设内角
,面积为
. (1)若
，求边
的长；高考资源网 (2)求
的最大值. 高考资源网 解：（1）由正弦定理得：
（2）

的内角和
，


高考资源网
=


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，
当
即
时，
取得最大值
.高考资源网 小结：本题将三角函数、三角恒等变换与解三角形（正、余弦定理等）综合，考查学生灵活运用知识的能力
高考资源网 例5.已知函数
在区间
上单调递减，试求实数
的取值范围． 解：已知条件实际上给出了一个在区间
上恒成立的不等式． 任取

，且
，则不等式
恒成立，即

恒成立．化简得
由
可知：
，所以
高考资源网 上式恒成立的条件为：
.高考资源网 由于
高考资源网

高考资源网 且当
时，
，所以
,高考资源网 从而
,高考资源网 有
,高考资源网 故
的取值范围为
.高考资源网 【专题突破】高考资源网 一、选择题高考资源网 1．若
，则
的值为（　　） Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
2.
=（ ） A.
B.
C. 2 D.
3.函数
是（ ） A．周期为
的奇函数 B．周期为
的偶函数高考资源网 C．周期为
的奇函数 D．周期为
的偶函数 4．求值
（ ）A．
B．
C．
D．
5．已知
，
，则
（ ）高考资源网 A．
B．
C．
D．
6．函数
的最小正周期是（ ） A.
B.
C.
D.
7．在△ABC中，
，则△ABC为（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判定高考资源网 8．设
，
，
，则
大小关系（ ） A．
B．
高考资源网 C．
D．
9．函数
是（ ） A.周期为
的奇函数 B.周期为
的偶函数 C.周期为
的奇函数 D.周期为
的偶函数高考资源网 10．已知
，则
的值为（ ） A．
B．
C．
D．
高考资源网 11、已知
，
，且
，
，则
的值是 （ ） A、
B、
C、
D．
高考资源网 12、已知不等式
对于任意的
恒成立，则实数
的取值范围是 （ ）高考资源网 A、
B、
C、
D、
二、填空题 13、已知
，
，则
14、函数
的最小值是 15、函数
图像的对称中心是（写出通式） 16、关于函数
，下列命题： ①、若存在
，
有
时，
成立；高考资源网 ②、
在区间
上是单调递增； ③、函数
的图像关于点
成中心对称图像； ④、将函数
的图像向左平移
个单位后将与
的图像重合．其中正确的命题序号 （注：把你认为正确的序号都填上） 三、解答题 17.求证：
18. 求值：
高考资源网 19.已知函数
． （1）若
，
，求
的值；www.ks5u.com （2）求函数
在
上最大值和最小值． 20. 已知

图像上相邻的两个对称轴的距离是
高考资源网 （1）求
的值； （2）求函数
上的最大值和最小值． 21. 设向量
，
，
，若
， 求：（1）
的值； （2）
的值．高考资源网 22. 设函数
学 （1）求函数
的最小正周期；高考资源网 （2）若
，是否存在实数m，使函数
的值域恰为
？若存在，请求高考资源网 出m的取值；若不存在，请说明理由．高考资源网 专题突破参考答案 一、选择题 1．C 2． C 3．C 4．C 5.D
，
6.D
高考资源网 7.C
为钝角 8.D
，
，
9.C
，为奇函数，
高考资源网 10.B

高考资源网 11.D 12.A高考资源网 二、填空题 13、
14、
高考资源网 15、
16、①③ 三、解答题 17. 解：证明：左边=
=
=
=
=
=右边，原题得证． 18．解：解：原式



高考资源网 19. 解：（1）


由题意知：
，即
．高考资源网 ∵
，即
， 高考资源网 ∴
，
． （2）∵
， 即
，高考资源网 ∴
，
．高考资源网 20. 解：
……（2分）
高考资源网

高考资源网 （1）因为函数
的图象上相邻的两个对称轴间的距离是
所以函数
的最小正周期T=
，则
（2）
高考资源网

，高考资源网 则当
时，
取得最小值－1；高考资源网 当
取得最大值
21. 解：（1）依题意，


，又

． （2）由于
，则
结合
，可得
高考资源网 则



． 22. 解： （1）

高考资源网 ∴ 函数的最小正周期
（2）假设存在实数m符合题意，
， ∴
高考资源网 ∴
高考资源网 又∵
，解得
∴存在实数
，使函数
的值域恰为
高考资源网

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