数列
【学法导航】高考资源网
（一）方法总结高考资源网
1. 求数列的通项通常有两种题型：一是根据所给的一列数，通过观察求通项；一是根据递推关系式求通项
2. 数列中的不等式问题是高考的难点热点问题，对不等式的证明有比较法、放缩，放缩通常有化归等比数列和可裂项的形式。高考资源网
3. 数列是特殊的函数，而函数又是高中数学的一条主线，所以数列这一部分是容易命制多个知识点交融的题，这应是命题的一个方向高考资源网
（二）复习建议
在进行数列二轮复习时，建议可以具体从以下几个方面着手:
1．运用基本量思想(方程思想)解决有关问题；
2．注意等差、等比数列的性质的灵活运用；高考资源网
3．注意等差、等比数列的前n项和的特征在解题中的应用；
4．注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式；高考资源网
5．根据递推公式，通过寻找规律，运用归纳思想，写出数列中的某一项或通项，主要需注意从等差、等比、周期等方面进行归纳；
6．掌握数列通项an与前n项和Sn 之间的关系；
7．根据递推关系，运用化归思想，将其转化为常见数列；高考资源网
8．掌握一些数列求和的方法
(1)分解成特殊数列的和(2)裂项求和(3)“错位相减”法求和（4）倒序相加法（5）公式法。
9．以等差、等比数列的基本问题为主，突出数列与函数、数列与方程、数列与不等式、数列与几何等的综合应用．
【专题综合】高考资源网
1. 等差、等比数列的概念与性质
例1. 已知公差大于零的等差数列的前项和为，且满足：
（1）求通项；（2）若数列是等差数列，且，求非零常数；
解：（1）设数列的公差为高考资源网
由题意得： 或 （舍去）
所以：
（2）高考资源网
由于 是一等差数列 故对一切自然数都成立
即：高考资源网
或 （舍去）高考资源网
所以高考资源网
点评：本题考查了等差数列的基本知识，第二问，判断数列是等差数列的条件，要抓住它的特征，充分应用等差数列的判断条件，转化为恒成立问题。
例2.设数列{an}和{bn}满足a1=b1=6, a2=b2=4, a3=b3=3, 且数列{an+1－an }（n∈N*）是等差数列，数列{bn－2}(n∈N*)是等比数列.
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；高考资源网
（2）是否存在k∈N*，使ak－bk∈（0，）？若存在，求出k；若不存在，说明理由.
解：（1）由题意得： =
所以
（）
上式对也成立
所以 高考资源网
所以 高考资源网
（2）
当 时
当时
故不存在正整数使高考资源网
2. 求数列的通项与求和
例3.（2008江苏）将全体正整数排成一个三角形数阵：
按照以上排列的规律，第行（）从左向右的第3个数为
解：前n－1 行共有正整数1＋2＋…＋（n－1）个，即个，因此第n 行第3 个数是全体正整数中第＋3个，即为．高考资源网
点评：本小题考查归纳推理和等差数列求和公式，难点在于求出数列的通项，解决此题需要一定的观察能力和逻辑推理能力高考资源网
例4.(2009年广东卷文)已知点（1，）是函数且）的图象上一点，等比数列的前项和为,数列的首项为，且前项和满足－=+（）.
（1）求数列和的通项公式；高考资源网
（2）若数列{前项和为，问>的最小正整数是多少?
解：（1）,高考资源网
,,
. 高考资源网
又数列成等比数列， ，所以 ；
又公比，所以 ；
又,, ；高考资源网
数列构成一个首相为1公差为1的等差数列， ，
当， ；高考资源网
()；
（2）
；高考资源网
由得，满足的最小正整数为112.
3. 数列与不等式的联系高考资源网
例5.（２００９届高三湖南益阳）已知等比数列的首项为，公比满足。又已知，，成等差数列。高考资源网
（1）求数列的通项 高考资源网
（2）令，求证：对于任意，都有
（1）解：∵ ∴ ∴
∵ ∴ ∴ 高考资源网
（2）证明：∵ ，
∴
高考资源网
点评：把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想，本题中的第（２）问，采用裂项相消法法，求出数列之和，由n的范围证出不等式
例６、(2008辽宁理) 在数列，中，a1=2，b1=4，且成等差数列，成等比数列（）高考资源网
（1）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测，的通项公式，并证明你的结论；
（2）证明：．
解：（Ⅰ）由条件得由此可得
．
猜测．高考资源网
用数学归纳法证明：
①当n=1时，由上可得结论成立．高考资源网
②假设当n=k时，结论成立，即
，那么当n=k+1时，．
所以当n=k+1时，结论也成立．
由①②，可知对一切正整数都成立．高考资源网
（2）．
n≥2时，由（Ⅰ）知．高考资源网
故
高考资源网
高考资源网
综上，原不等式成立．
点评：本小题主要考查等差数列，等比数列，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力．
4. 数列与函数、概率等的联系高考资源网
例7.（２００７江西理）将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概
率为（ ）Ａ．?????????????? Ｂ．????????????? Ｃ．??????????????? Ｄ．
?解：一骰子连续抛掷三次得到的数列共有个，其中为等差数列有三类：（1）公差为0的
有6个；（2）公差为1或-1的有8个；（3）公差为2或-2的有4个，共有18个，
成等差数列的概率为，选B高考资源网
点评：本题是以数列和概率的背景出现，题型新颖而别开生面，有采取分类讨论，分类时要做到不遗漏，不重复。
例8. 已知数列的前项和为，对一切正整数，点都在函数的图像上，且过点的切线的斜率为．高考资源网
（1）求数列的通项公式．
（2）若，求数列的前项和．高考资源网
（3）设，等差数列的任一项，其中是中的最小数，，求的通项公式.
解：（1）点都在函数的图像上，,
当时，高考资源网
当ｎ＝1时，满足上式，所以数列的通项公式为
（2）由求导可得
过点的切线的斜率为，.高考资源网
.
①
由①×4，得高考资源网
②
①-②得： 高考资源网
（3）,.
又，其中是中的最小数，.
是公差是4的倍数，.高考资源网
又，,解得ｍ＝27.
所以，高考资源网
设等差数列的公差为，则高考资源网
，所以的通项公式为
【专题突破】高考资源网
一、选择题
1 已知等差数列的公差为,若成等比数列, 则（ ）
A B C D 高考资源网
2 设是等差数列的前n项和，若（ ）
A B C D 高考资源网
3 若成等差数列，则的值等于（ ）
A B 或 C D 高考资源网
4 已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为,则的取值范围是（ ）
A B C D
5 在中,是以为第三项, 为第七项的等差数列的公差,是以为第三项, 为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是（ ）高考资源网
A 钝角三角形 B 锐角三角形 C 等腰直角三角形 D 以上都不对
6 在等差数列中，设，，，则关系为（ ）高考资源网
A 等差数列 B 等比数列 C 等差数列或等比数列 D 都不对
7．已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn，若，且A、B、C三点共线
（该直线不过原点O），则S200＝（ ）高考资源网
A．100 B．101 C．200 D．201
8．在等比数列中，，前项和为，若数列也是等比数列，则等于（ ）A． B． C． D．高考资源网
9．设，则等于（ ）高考资源网
A． B． C． D．
10．弹子跳棋共有60棵大小相同的球形弹子，现在棋盘上将它叠成正四面体球垛，使剩下的弹子尽可能的少，那么剩下的弹子有（ ）高考资源网
A．3 B．4 C．8 D．9
11．设数列的前n项和为，令，称为数列，，……，的“理想数”，已知数列，，……，的“理想数”为2004，那么数列2， ，，……，的“理想数”为（ ）高考资源网
A．2002 B．2004 C．2006 D．2008
12．已知数列对任意的满足，且，那么等于（ ）
A． B． C． D．高考资源网
二、填空题
13．等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4－a2＝8，a3＋a5＝26，记Tn＝，如果存在正整数M，使得对一切正整数n，Tn≤M都成立．则M的最小值是__________．高考资源网
14．无穷等比数列{an}中，a1＞1，|q|＜1，且除a1外其余各项之和不大于a1的一半，则q的取值范围是________.高考资源网
15．已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是________.高考资源网
16．在等差数列中，公差，前项的和，则=_____________ 高考资源网
三、解答题
17. 设为等比数列，，已知。
（1）求数列{an}的首项和公比；（2）求数列的通项公式。高考资源网
18. 已知数列的前项和满足．高考资源网
写出数列的前三项；高考资源网
求证数列为等比数列，并求出的通项公式．高考资源网
19. 数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1=1,an+1=Sn(n=1,2,3，…)．
证明：（1）数列{}是等比数列；（2）Sn+1=4an. 高考资源网
20. 设数列的前项和为 已知
（1）设，证明数列是等比数列 （2）求数列的通项公式。
21. 已知数列{an}中a1＝2，an+1＝(－1)( an＋2)，n＝1，2，3，…. 高考资源网
（1）求{an}的通项公式；
（2）若数列{an}中b1＝2，bn+1＝，n＝1，2，3，….证明：＜bn≤a4n(3，n＝1，2，3，…
22. 已知数列满足且对一切,有 高考资源网
（1）求证：对一切高考资源网
（2）求数列通项公式. 高考资源网
（3）求证：高考资源网
专题突破参考答案
一、选择题
1 B 高考资源网
2 A 高考资源网
3 D
4 D 设三边为则，即
得，即
5 B 高考资源网
，都是锐角高考资源网
6 A 成等差数列
7．A． 依题意，a1＋a200＝1，故选A．高考资源网
8．C．因数列为等比，则，因数列也是等比数列，则
即，所以，故选择答案C．
9．D． f（n）=，选D．高考资源网
10．B． 正四面体的特征和题设构造过程，第k层为k个连续自然数的和，化简通项再裂项用公式求和.依题设第k层正四面体为则前k层共有，k最大为6，剩4，选B．
11．A．认识信息，理解理想数的意义有，
，选A．
12．C．由已知＝+＝ -12，＝+＝－24,=+= -30，选C．
二、填空题高考资源网
13．2 解析：由a4－a2＝8，可得公差d＝4，再由a3＋a5＝26，可得a1＝1，故Sn＝n＋2n(n－1)＝2n2－n，∴Tn＝，要使得Tn≤M，只需M≥2即可，故M的最小值为2，答案：2高考资源网
14．(－1，0(∪(0，( 高考资源网
解析：≤(q≤，但|q|＜1，且q≠0，故q∈(－1，0(∪(0，(.
15．4 解析：∵＝≥＝4.
16．解析：
三、解答题
17. 解：（1）高考资源网
又为等比数列，故， 故
（2）∵
∴ ①
②
②－①得 高考资源网
∴
18．解：（1）在中分别令 得：
解得：高考资源网
（2）由得：高考资源网
两式相减得：
即：
高考资源网
故数列是以为首项，公比为2的等比数列．高考资源网
所以 高考资源网
19. 解：（1）由 得： 即
所以
所以数列是以1为首项,公比为2的等比数列．高考资源网
（2）由（1）得 高考资源网
所以
所以
20. 解：（I）由及，
有高考资源网
由，．．．① 则当时，有．．．．．②
②－①得高考资源网
又，是首项，公比为２的等比数列．
（2）由（I）可得，
数列是首项为，公差为的等比数列．高考资源网
，
21. 解：（1）由题设：an+1＝(－1)(an＋2)＝(－1)(an－)＋(－1)(2＋)，
＝(－1)(an－)＋，∴an+1－＝(－1)(an－)．
所以，数列{an－}a是首项为2－，公比为－1)的等比数列高考资源网，
an－＝(－1)n，高考资源网
即an的通项公式为an＝[(－1)n＋1]，n＝1，2，3，….
（2）用数学归纳法证明．
（ⅰ）当n＝1时，因＜2，b1＝a1＝2，所以＜b1≤a1，结论成立．
（ⅱ）假设当n＝k时，结论成立，即＜bk≤a4k(3，，也即0＜bn－≤a4k(3－，
当n＝k＋1时，bk+1－＝－＝＝＞0，
又＜＝3－2，
所以bk+1－＝＜(3－2)2(bk－)≤(－1)4(a4k(3－)＝a4k+1－高考资源网
也就是说，当n＝k＋1时，结论成立． 高考资源网
根据（ⅰ）和（ⅱ）知＜bn≤a4n(3，n＝1，2，3，….
22. 解: (1) 证明: ………. ①
…………②
② - ①： 高考资源网
() 高考资源网
(2)解：由及
两式相减,得: 高考资源网
高考资源网
∴.
(3) 证明: ∵高考资源网
∴
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∴
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