计数原理(排列组合二项式) 【学法导航】 1．分类应在同一标准下进行，确保“不漏”、“不重”，分步要做到“步骤连续”和“步骤独立”，并能完成事项. 2．界定“元素与位置”要辩证地看待，“特殊元素”、“特殊位置”可直接优先安排，也可间接处理. 高考资源网 3．解排列组合综合问题注意先选后排的原则，复杂的排列、组合问题利用分类思想转化为简单问题求解. 4．常见的解题策略有以下几种： （1）特殊元素优先安排的策略；高考资源网 （2）合理分类与准确分步的策略； （3）排列、组合混合问题先选后排的策略； （4）正难则反、等价转化的策略； （5）相邻问题捆绑处理的策略； （6）不相邻问题插空处理的策略； （7）定序问题除法处理的策略；高考资源网 （8）分排问题直排处理的策略； （9）“小集团”排列问题中先整体后局部的策略； （10）构造模型的策略. 5．二项式定理解题：四大热点，四条规律： （1）四大热点：①通项运用型；②系数配对型；③系数和差型；④综合应用型. （2）四条规律：①常规问题通项分析法；②系数和差赋值法；③近似问题截项法；④整除（或余数）问题展开法. 高考资源网 【典例精析】高考资源网 分类加法与分步乘法计数原理 例1.从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车,还可以乘轮船。一天中，火车有4班，汽车有2班，轮船有3班。那麽一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 【解析】因为一天中乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法，每一种走法都可以从甲地到乙地，因此，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有 4+2+3=9 种不同的走法。 例2.（2007·东城）某银行储蓄卡的密码是一个4位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位和个位上的数字（如2816）的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选0，并且千位、百位上都能取0.这样设计出来的密码共有（ ） A．90个 B．99个 C．100个 D．112个高考资源网 【解析】由于千位、百位确定下来后十位、个位就随之确定，则只考虑千位、百位即可，千位、百位各有10种选择，所以有10×10种=100种.故选C. 【答案】C 2．排列与组合高考资源网 例3. （2009北京卷文）用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为 （ ） A．8 B．24 C．48 D．120 【答案】C .w【解析】本题主要考查排列组合知识以及分步计数原理知识. 属于基础知识、基本运算的考查. 2和4排在末位时，共有种排法，高考资源网 其余三位数从余下的四个数中任取三个有种排法， 于是由分步计数原理，符合题意的偶数共有（个）.故选C. 例4. （2009全国卷Ⅰ理）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( D ) （A）150种 （B）180种 （C）300种 (D)345种 解: 分两类(1) 甲组中选出一名女生有种选法; . 高考资源网 (2) 乙组中选出一名女生有种选法.故共有345种选法.选D 例5. （2009四川卷文）2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是 A. 60 B. 48 C. 42 D. 36 【答案】B 【解析】解法一、从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有种不同排法），剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；则男生甲必须在A、B之间（若甲在A、B两端。则为使A、B不相邻，只有把男生乙排在A、B之间，此时就不能满足男生甲不在两端的要求）此时共有6×2＝12种排法（A左B右和A右B左）最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，所以，共有12×4＝48种不同排法。 解法二；同解法一，从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有种不同排法），剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；为使男生甲不在两端可分三类情况： 第一类：女生A、B在两端，男生甲、乙在中间，共有=24种排法； 第二类：“捆绑”A和男生乙在两端，则中间女生B和男生甲只有一种排法，此时共有＝12种排法 第三类：女生B和男生乙在两端，同样中间“捆绑”A和男生甲也只有一种排法。 此时共有＝12种排法 三类之和为24＋12＋12＝48种。. 高考资源网 3.二项式定理的通项公式 例6. （2009重庆卷理）的展开式中的系数是（ ） A．16 B．70 C．560 D．1120 【答案】 【解析】设含的为第， 所以，故系数为：，选D 4二项式定理的综合应用 例7.（2007·济南）(x2 + 1)(x – 2)9 = a0 + a1(x – 1) + a2(x – 1)2 + a3(x – 1)3 + … + a11(x – 1)11，则a1 + a2 + a3 + … +a11的值为 . 【解析】令x = 1，得2×(–1) 9 = a0， ① 令x = 2，得(22 + 1)·0 = a0 + a1 + …+a11， ② 联立①②知a1 + a2 + … +a11 = 2. 【答案】2 例8. 6.（2009陕西卷文）若,则的值为 A. 2 B.0 C. D.  答案 C 解析 由题意容易发现 ,则 , 同理可以得出 ,………高考资源网 亦即前2008项和为0, 则原式== 故选C. 【专题综合】 1二项式与推理综合问题 例（2009浙江卷理）观察下列等式： ， ， ， ，高考资源网 ……… 由以上等式推测到一个一般的结论： 对于， ． 答案  解析 这是一种需类比推理方法破解的问题，结论由二项构成，第二项前有， 二项指数分别为，因此对于，  2．排列组合求概率问题高考资源网 例2009重庆卷理）锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同。从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为总的滔法而所求事件的取法分为三类，即芝麻馅汤圆、花生馅汤圆。豆沙馅汤圆取得个数分别按1.1.2；1，2，1；2，1，1三类，故所求概率为  二项式定理与极限综合问题高考资源网 例(2009湖北卷理)设，则      答案 B 解析 令得高考资源网 令时高考资源网 令时 两式相加得： 两式相减得： 代入极限式可得，故选B
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